Определённый интеграл

Задай функцию и пределы — получишь значение, первообразную и подстановку по формуле Ньютона — Лейбница.

ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Нижний предел Верхний предел

Пределы можно записывать выражением: pi/2, -1, E

Степень — ^, корень — sqrt(x), логарифм — ln(x)

Как это считается

Определённый интеграл — это число, а не функция. Считается он в два хода: сначала первообразная, потом подстановка пределов:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x)

Формула Ньютона — Лейбница связывает две совершенно разные вещи: площадь под графиком и первообразную. Именно поэтому её называют основной теоремой анализа — без неё площадь пришлось бы считать пределом сумм прямоугольников.

Геометрический смысл — площадь фигуры под графиком, которую называют криволинейной трапецией, взятая со знаком. Участки, где график ниже оси x, входят в ответ с минусом, и отрицательный результат здесь нормален. Для геометрической площади нужен интеграл от модуля функции, и это другая задача.

Формула работает только там, где функция непрерывна на всём отрезке. Если внутри есть разрыв, подстановка даёт число, которое выглядит как ответ, но им не является: интеграл от 1/x² по отрезку от −1 до 1 «получается» равным −2, хотя на самом деле расходится. Отрицательная площадь под положительной функцией — признак, что формулу применили там, где нельзя.

Свойства, которые упрощают счёт

Прежде чем искать первообразную для громоздкого выражения, полезно проверить два свойства — задачу они не решают, но убирают лишнюю работу.

\int (c f (x) + g (x)) d x = c ⁣ \int f (x) d x + \int g (x) d x

Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. Многочлен вроде x² + 3x интегрируется почленно — первообразная ищется для каждого слагаемого отдельно, а не для всего выражения сразу.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x

Второе свойство — аддитивность по отрезку: интеграл от a до b равен сумме интеграла от a до c и от c до b для любой точки c между ними. Разбивать отрезок можно там, где удобно — например, если функция задана разными формулами на разных участках.

Примеры расчёта

Площадь под параболой

\int_{0}^{3} x^{2} d x

Ищем первообразную

$\int_{0}^{3} x^{2} d x ⟹ \int x^{2} d x$

Определённый интеграл считается в два хода: сначала первообразная, потом подстановка пределов. Константа C на этом этапе не нужна — при вычитании она сокращается.
Степенная функция

$\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$

Показатель увеличивается на единицу, и на новый показатель делим. Правило не работает только при показателе −1.
Подставляем пределы

$[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3} = (9) - (0) = 9$

Формула Ньютона — Лейбница: значение первообразной на верхнем пределе минус значение на нижнем. Порядок менять нельзя — получится ответ с обратным знаком.

9

Константа C здесь не нужна и не случайно: при вычитании она сокращается сама. Это единственное отличие определённого интеграла от неопределённого по технике — всё остальное считается одинаково.

Половина волны синуса

\int_{0}^{π} \sin (x) d x

Ищем первообразную

$\int_{0}^{π} \sin (x) d x ⟹ \int \sin (x) d x$

Определённый интеграл считается в два хода: сначала первообразная, потом подстановка пределов. Константа C на этом этапе не нужна — при вычитании она сокращается.
Табличный интеграл синуса

$\int \sin (x) d x = - \cos (x) + C$

Берётся по таблице интегралов.
Подставляем пределы

$[- \cos (x)]_{0}^{π} = (1) - (- 1) = 2$

Формула Ньютона — Лейбница: значение первообразной на верхнем пределе минус значение на нижнем. Порядок менять нельзя — получится ответ с обратным знаком.

2

Двойка получилась ровной, и это хороший признак: тригонометрия на отрезках, кратных π, почти всегда даёт целые числа. Дробный ответ здесь — повод пересчитать подстановку пределов.

Вопросы

Куда девается константа C?

Сокращается при вычитании: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Поэтому в определённом интеграле её не пишут — это не небрежность, а следствие формулы.

Почему ответ получился отрицательным?

Определённый интеграл — площадь со знаком. Там, где график ниже оси x, вклад отрицательный. Для геометрической площади нужен интеграл от модуля функции.

Как посчитать площадь фигуры, если функция несколько раз меняет знак на отрезке?

Найти корни f(x) = 0 на отрезке и разбить его по этим точкам — на каждом куске функция целиком выше или ниже оси. Проинтегрировать куски отдельно, взять модуль каждого результата и сложить. Один общий интеграл здесь даст неверный ответ: площади с разными знаками компенсируют друг друга, а разбиение по свойству аддитивности считает их по отдельности.

Что если поменять пределы местами?

Знак ответа изменится на противоположный: это прямое следствие формулы, F(a) − F(b) = −(F(b) − F(a)). Перепутанные местами пределы — вторая по частоте ошибка после потерянного знака.

Можно ли подставлять пределы, если внутри отрезка разрыв?

Нет, и это опасная ловушка: формально подставив, легко получить конечное число вместо расходящегося интеграла. Калькулятор проверяет отрезок на разрывы отдельно.

Как задать бесконечный предел?

Пиши oo для плюс бесконечности и -oo для минуса. Такой интеграл называется несобственным и считается через предел — если он существует.

Как считать площадь между двумя графиками?

Интегрировать разность функций на отрезке между точками их пересечения, вычитая нижнюю из верхней. Точки пересечения находятся из уравнения f(x) = g(x).

Определённый интеграл

Калькулятор

Как это считается

Свойства, которые упрощают счёт

Примеры расчёта

Площадь под параболой

Ищем первообразную

Степенная функция

Подставляем пределы

Половина волны синуса

Ищем первообразную

Табличный интеграл синуса

Подставляем пределы

Вопросы

Похожие калькуляторы