Производная функции

Q: Как вводить функцию?

Степень — знаком ^, умножение — звёздочкой, корень — sqrt(x), логарифм — ln(x). Русские названия тоже понимаются: tg, ctg, arctg.

Q: Почему ответ выглядит не так, как в моём задачнике?

Одну и ту же производную можно записать по-разному: 2sin(x)cos(x) и sin(2x) — одно и то же. Сравнивай не запись, а значения в паре точек.

Q: Когда нужно цепное правило?

Когда под функцией стоит не сама переменная, а выражение. У sin(x) внутренняя функция — просто x, и правило не нужно; у sin(3x) появляется множитель 3.

Q: Чем отличается производная от дифференциала?

Производная — скорость изменения, число. Дифференциал — приращение функции по касательной, то есть df = f′(x)dx. Производная это отношение дифференциалов.

Q: Зачем нужна вторая производная?

Она показывает, как меняется сама скорость: по её знаку находят выпуклость графика и точки перегиба, а в физике это ускорение.

Q: Что значит «производной не существует»?

В точке нет касательной с определённым наклоном — например, в вершине графика |x|. Такое возможно и там, где функция непрерывна.

Q: Как по графику производной понять, где функция возрастает?

Там, где график f′(x) выше оси абсцисс — функция возрастает, где ниже — убывает. Точки пересечения с осью — кандидаты в экстремумы: смена знака с плюса на минус даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.

Введи функцию — получишь производную и разбор, в котором каждый шаг назван своим правилом, а не просто показан результат.

ФУНКЦИЯ

Переменная (если их несколько) Порядок производной

Степень — знаком ^, умножение — *, корень — sqrt(x)

Как это считается

По определению производная — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Считать по определению каждый раз никто не станет — из него один раз выводят таблицу производных и четыре правила: суммы, произведения, частного и цепное. Дальше вся работа сводится к тому, чтобы правильно определить, какое правило применить первым — а это структура выражения, а не его сложность.

Порядок разбора идёт снаружи внутрь. В выражении x²·sin(3x) верхний уровень — произведение, значит первым идёт правило произведения; синус разбирается уже внутри, и только там появляется цепное правило.

Геометрический и физический смысл

Производная в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке: f′(x₀) = tg α, где α — угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Чем больше производная по модулю, тем круче поднимается или падает график; нулевая производная означает горизонтальную касательную.

Физический смысл — мгновенная скорость. Если x(t) — координата тела в момент времени t, то x′(t) — его скорость, а вторая производная x″(t) — ускорение. По той же логике производная связывает любые две величины, где одна — скорость изменения другой, не только путь и время.

Знак производной определяет поведение самой функции — это отдельно проверяют на ЕГЭ по графику f′(x), не считая f(x):

ЗНАК ПРОИЗВОДНОЙ	ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ
f′(x) > 0	Функция возрастает
f′(x) < 0	Функция убывает
f′(x) = 0, смена + на −	Точка максимума
f′(x) = 0, смена − на +	Точка минимума

Примеры расчёта

Многочлен: правило суммы и степенная функция

\frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 7)

Правило суммы

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 7) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) (слагаемое без переменной даёт 0)$

Производная суммы равна сумме производных: каждое слагаемое дифференцируется отдельно. Слагаемые без переменной — константы, их производная равна нулю.
Степенная функция

$\frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2}$

Показатель опускается множителем вперёд и уменьшается на единицу — при любом показателе, включая дробный и отрицательный.
Линейная функция

$\frac{d}{d x} (- 4 x) = - 4$

Производная переменной равна единице, поэтому остаётся только коэффициент.

3 x^{2} - 4

Свободный член исчез не случайно: производная показывает скорость изменения, а постоянное слагаемое ничего не меняет. Сдвиньте график на семь единиц вверх — наклон в каждой точке останется тем же.

Произведение и цепное правило вместе

\frac{d}{d x} (x^{2} \sin (3 x))

Правило произведения

$\frac{d}{d x} (x^{2} \sin (3 x)) = \frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot \sin (3 x) + x^{2} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (3 x))$

Производная произведения: производная первого множителя на второй плюс первый на производную второго.
Степенная функция

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x$

Показатель опускается множителем вперёд и уменьшается на единицу — при любом показателе, включая дробный и отрицательный.
Цепное правило

$\frac{d}{d x} (\sin (3 x)) = \cos (3 x) \cdot \frac{d}{d x} (3 x)$

Сначала производная внешней функции при нетронутой внутренней, потом умножаем на производную внутренней.
Линейная функция

$\frac{d}{d x} (3 x) = 3$

Производная переменной равна единице, поэтому остаётся только коэффициент.

3 x^{2} \cos (3 x) + 2 x \sin (3 x)

Две ошибки здесь встречаются чаще всего: перемножить производные вместо правила произведения и забыть тройку от внутренней функции. Множитель 3 берётся именно из цепного правила — производная внутренней функции 3x.

Частное: где легко потерять знак

\frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x - 1})

Правило частного

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{\frac{d}{d x} (x + 1) \cdot (x - 1) - (x + 1) \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя, всё на квадрат знаменателя. Порядок в числителе менять нельзя.
Правило суммы

$\frac{d}{d x} (x + 1) = 1 (слагаемое без переменной даёт 0)$

Производная суммы равна сумме производных: каждое слагаемое дифференцируется отдельно. Слагаемые без переменной — константы, их производная равна нулю.
Правило суммы

$\frac{d}{d x} (x - 1) = 1 (слагаемое без переменной даёт 0)$

Производная суммы равна сумме производных: каждое слагаемое дифференцируется отдельно. Слагаемые без переменной — константы, их производная равна нулю.

- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}

Числитель свернулся до −2, и это хорошая проверка себя: если в ответе осталось громоздкое выражение, скорее всего, в правиле частного переставлены местами слагаемые. Порядок в нём фиксирован.

Вопросы

Как вводить функцию?

Степень — знаком ^, умножение — звёздочкой, корень — sqrt(x), логарифм — ln(x). Русские названия тоже понимаются: tg, ctg, arctg.

Почему ответ выглядит не так, как в моём задачнике?

Одну и ту же производную можно записать по-разному: 2sin(x)cos(x) и sin(2x) — одно и то же. Сравнивай не запись, а значения в паре точек.

Когда нужно цепное правило?

Когда под функцией стоит не сама переменная, а выражение. У sin(x) внутренняя функция — просто x, и правило не нужно; у sin(3x) появляется множитель 3.

Чем отличается производная от дифференциала?

Производная — скорость изменения, число. Дифференциал — приращение функции по касательной, то есть df = f′(x)dx. Производная это отношение дифференциалов.

Зачем нужна вторая производная?

Она показывает, как меняется сама скорость: по её знаку находят выпуклость графика и точки перегиба, а в физике это ускорение.

Что значит «производной не существует»?

В точке нет касательной с определённым наклоном — например, в вершине графика |x|. Такое возможно и там, где функция непрерывна.

Как по графику производной понять, где функция возрастает?

Там, где график f′(x) выше оси абсцисс — функция возрастает, где ниже — убывает. Точки пересечения с осью — кандидаты в экстремумы: смена знака с плюса на минус даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.

Производная функции

Калькулятор

Как это считается

Геометрический и физический смысл

Примеры расчёта

Многочлен: правило суммы и степенная функция

Правило суммы

Степенная функция

Линейная функция

Произведение и цепное правило вместе

Правило произведения

Степенная функция

Цепное правило

Линейная функция

Частное: где легко потерять знак

Правило частного

Правило суммы

Правило суммы

Вопросы

Похожие калькуляторы