Неопределённый интеграл

Введи функцию — получишь первообразную и разбор с названием метода: таблица, замена или интегрирование по частям.

ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Задать пределы интегрирования

Степень — ^, корень — sqrt(x), логарифм — ln(x)

Как это считается

Интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Найти первообразную значит найти функцию, производная которой равна заданной:

\int f (x) d x = F (x) + C, F^{'} (x) = f (x)

Отсюда сразу следует способ проверки, которого нет у большинства задач: продифференцируй ответ и сравни с исходной функцией. Совпало — решение верное, и никакого сверения с ответами в конце учебника не требуется.

Методов по сути три. Табличные интегралы берутся сразу. Замена переменной применяется, когда рядом со сложной функцией уже стоит производная её внутренней части. Интегрирование по частям — когда под интегралом произведение, и один множитель при дифференцировании упрощается.

В отличие от производной, где алгоритм однозначен, здесь нужен выбор метода. Готового правила нет: подходящий приём распознаётся по виду выражения, и это единственное, что приходит с практикой, а не с формулой.

Прежде чем применять один из трёх методов, полезно проверить два свойства линейности:

\int (c f (x) + g (x)) d x = c ⁣ \int f (x) d x + \int g (x) d x

Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. Многочлен вроде 3x² + 2x интегрируется почленно — первообразная ищется для каждого слагаемого отдельно, без специального приёма.

Примеры расчёта

По частям: когда под интегралом произведение

\int x e^{x} d x

Интегрирование по частям

$u = x, d v = e^{x} d x ⟹ d u = 1 d x, v = e^{x}$

За u берут то, что при дифференцировании упрощается, за dv — то, что умеем интегрировать. Выбор наоборот тоже законен, но интеграл станет сложнее исходного.
Подставляем в формулу

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Формула по частям: uv минус интеграл от v du. Знак минус перед интегралом теряют чаще всего.
Показательная функция

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Показательная функция при интегрировании воспроизводит себя; если основание не e, добавляется деление на натуральный логарифм основания.
Проверяем дифференцированием

${((x - 1) e^{x})}^{'} = x e^{x}$

Производная от ответа обязана вернуть подынтегральную функцию. Это проверка на полминуты, и она ловит любую ошибку в вычислениях.

(x - 1) e^{x} + C

За u взяли x, потому что при дифференцировании он превращается в единицу и второй интеграл становится табличным. Возьми наоборот — получишь x²e^x/2 под интегралом, то есть задачу сложнее исходной. Формула та же, а тупик другой.

Замена переменной под синусом

\int \sin (3 x) d x

Замена переменной

$u = 3 x, d u = 3 d x ⟹ \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Подбираем замену так, чтобы производная внутренней функции уже стояла множителем. Тогда после замены интеграл становится табличным.
Вынесение константы

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u = \frac{1}{3} \cdot \int \sin (u) d u$

Числовой множитель выносится за знак интеграла.
Табличный интеграл синуса

$\int \sin (u) d u = - \cos (u) + C$

Берётся по таблице интегралов.
Возвращаемся к исходной переменной

$u = 3 x$

Замена — приём, а не ответ: в итоговом выражении переменной u быть не должно.
Проверяем дифференцированием

${(- \frac{\cos (3 x)}{3})}^{'} = \sin (3 x)$

Производная от ответа обязана вернуть подынтегральную функцию. Это проверка на полминуты, и она ловит любую ошибку в вычислениях.

- \frac{\cos (3 x)}{3} + C

Тройка в знаменателе — не украшение: без неё производная ответа дала бы 3cos(3x) вместо sin(3x). Проверка дифференцированием ловит это мгновенно, и делать её стоит всегда, когда была замена.

Вопросы

Зачем нужна константа C?

Производная любой константы равна нулю, поэтому первообразных бесконечно много и они отличаются на число. Потерянная C — самая частая потеря балла на экзамене.

Что брать за u при интегрировании по частям?

То, что при дифференцировании упрощается: логарифм, арктангенс, многочлен. За dv — то, что легко интегрируется. Если второй интеграл вышел сложнее первого, выбор был обратным.

Как понять, что нужна замена?

Когда под интегралом стоит сложная функция, а рядом множителем — производная её внутренней части. Тогда замена превращает интеграл в табличный.

Почему в ответе ln с модулем?

Потому что 1/x определена и при отрицательных x, а логарифм — нет. Запись ln|x| покрывает обе полуоси сразу. Без модуля ответ верен только справа от нуля.

Почему мой ответ отличается от вашего?

Две первообразные одной функции отличаются на константу, и это законно. Продифференцируй свой ответ: вернулась подынтегральная функция — решение верное.

Бывают интегралы, которые не берутся?

Да, и их много: например, от e в степени x². Первообразная существует, но через элементарные функции не выражается. Калькулятор в таком случае говорит об этом прямо.

Зачем в интеграле пишут dx, если в ответе его нет?

dx показывает, по какой переменной идёт интегрирование, — это часть записи, а не лишний символ. Когда в выражении несколько букв, dx сообщает, какая из них переменная, а какие — параметры: интеграл от ax по dx и тот же интеграл по da дают разные ответы.

Неопределённый интеграл

Калькулятор

Как это считается

Примеры расчёта

По частям: когда под интегралом произведение

Интегрирование по частям

Подставляем в формулу

Показательная функция

Проверяем дифференцированием

Замена переменной под синусом

Замена переменной

Вынесение константы

Табличный интеграл синуса

Возвращаемся к исходной переменной

Проверяем дифференцированием

Вопросы

Похожие калькуляторы