Предел функции

Введи функцию и точку — получишь предел с разбором: какая неопределённость и каким приёмом она снимается. Односторонние пределы считаются отдельно.

ФУНКЦИЯ ПОД ЗНАКОМ ПРЕДЕЛА

X СТРЕМИТСЯ К

С КАКОЙ СТОРОНЫ

Двусторонний предел существует, только если пределы слева и справа совпали. У 1/x в нуле они разные, и предела нет

Бесконечность записывается как oo или -oo

Как это считается

Предел показывает, к какому числу приближается функция, когда аргумент приближается к точке. К самой точке это отношения не имеет: функция может быть в ней не определена, а предел всё равно существовать.

\lim_{x \to a} f (x) = A

Порядок действий короткий. Сначала подстановка: если получилось число — это и есть ответ, функция непрерывна. Если получилась неопределённость, её вид подсказывает приём.

Сокращать на нулевой множитель здесь можно, и это первое, что вызывает недоверие. Дело в том, что предел описывает поведение рядом с точкой, а не в ней: при x, близком к единице, множитель (x − 1) нулю не равен, и делить на него законно.

Виды неопределённостей

Приём выбирают не наугад, а по виду неопределённости.

ВИД	КОГДА	ЧТО ДЕЛАТЬ
0/0	Дробь, обе части в ноль	Разложить на множители и сократить
∞/∞	Дробь на бесконечности	Поделить на старшую степень
1^∞	Степень, основание к единице	Второй замечательный предел
∞ − ∞	Разность двух бесконечностей	Привести к общему знаменателю
0 · ∞	Произведение нуля на бесконечность	Переписать как дробь

Правило Лопиталя годится для первых двух строк и берётся, когда сокращение не помогло. Остальные виды к ним сводят: произведение переписывают дробью, разность приводят к общему знаменателю.

Примеры решения

Ноль на ноль: сокращаем общий множитель

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

Подставляем предельное значение

$\frac{x^{2} - 1}{x - 1} \to_{x \to 1}^{} \frac{0}{0}$

Подставляем x = 1 и получаем неопределённость — значение так не найти, нужно преобразование.
Раскладываем на множители

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1}$

Числитель и знаменатель обращаются в ноль при x = 1, значит оба делятся на (x − 1). Это общий множитель, и он-то и создаёт неопределённость.
Сокращаем общий множитель

$x + 1$

Сокращать можно: предел описывает поведение рядом с точкой, а не в самой точке, и там множитель в ноль не обращается. После сокращения неопределённости уже нет.
Подставляем в упрощённое выражение

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2$

Неопределённость снята, и подстановка теперь даёт ответ. Проверить себя можно так: посчитать функцию в точке рядом с предельной — значение должно быть близко.

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2

В самой единице функция не определена — там ноль на ноль. Но предел описывает поведение рядом с точкой, а не в ней, и рядом множитель (x − 1) нулю не равен. Поэтому сокращать законно, и график здесь просто прямая с выколотой точкой.

Бесконечность на бесконечность: делим на старшую степень

\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x}{x^{2} - 5}

Подставляем предельное значение

$\frac{2 x^{2} + 3 x}{x^{2} - 5} \to_{x \to \infty}^{} \frac{\infty}{\infty}$

Прямая подстановка бесконечности показывает вид неопределённости. Само по себе это не ответ: под одним и тем же значком прячутся разные пределы.
Делим на старшую степень

$\frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{5}{x^{2}}}$

Старшая степень здесь x^{2}. Делим на неё и числитель, и знаменатель — дробь от этого не меняется, а поведение на бесконечности становится видно.
Отбрасываем убывающие слагаемые

$\frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{5}{x^{2}}} \to 2$

Каждое слагаемое с переменной в знаменателе стремится к нулю. Остаются только отношения коэффициентов при старших степенях.
Подставляем в упрощённое выражение

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x}{x^{2} - 5} = 2$

Неопределённость снята, и подстановка теперь даёт ответ. Проверить себя можно так: посчитать функцию в точке рядом с предельной — значение должно быть близко.

\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x}{x^{2} - 5} = 2

На бесконечности решает только старшая степень: остальные слагаемые растут медленнее и в отношении исчезают. Ответ — отношение коэффициентов при x², двойка. Правило Лопиталя тут тоже сработает, но дольше.

Односторонние пределы: когда предела нет

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}

Проверяем пределы слева и справа

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty \neq \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = \infty$

Двусторонний предел существует только тогда, когда односторонние совпали. Здесь они разные, значит предела в этой точке нет.

предела не существует

Слева функция уходит в минус бесконечность, справа в плюс. Двусторонний предел существует только если односторонние совпали, поэтому здесь его нет. Многие калькуляторы в этом месте молча выдают +∞ — это правосторонний предел, а не ответ на заданный вопрос.

Вопросы

Почему нельзя просто подставить число?

Часто можно: если функция в точке непрерывна, предел равен её значению. Подстановка перестаёт работать при неопределённости вроде 0/0 — за одним значком прячутся разные ответы.

Можно ли сокращать на множитель, равный нулю?

В пределе можно. Предел описывает поведение функции рядом с точкой, а не в ней самой, и рядом множитель нулю не равен. Именно поэтому у (x²−1)/(x−1) предел в единице есть, хотя значения там нет.

Когда применяют правило Лопиталя?

Только при 0/0 и ∞/∞. Числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности — это не производная дроби. Осталась неопределённость — применяют ещё раз.

Что такое односторонний предел?

Предел при подходе к точке только слева или только справа. Двусторонний существует лишь тогда, когда они совпали: у 1/x в нуле слева −∞, справа +∞, значит предела нет — хотя многие калькуляторы выдают здесь +∞.

Предел равен бесконечности — это ответ?

Формально предела нет: бесконечность не число, запись означает, что функция неограниченно растёт. Такую запись принимают, но разницу понимать стоит.

Как записать бесконечность в калькуляторе?

Двумя латинскими буквами o: oo для плюс бесконечности, -oo для минус. Символ ∞ тоже понимается.

Как предел связан с непрерывностью функции?

Функция непрерывна в точке, если предел там существует и равен значению функции. Если это не так — точка разрыва, и разрывы бывают разными. У (x² − 1)/(x − 1) в единице разрыв устранимый: предел есть, просто самой точки нет в области определения — доопредели функцию этим числом, и разрыв исчезнет. У 1/x в нуле разрыв другого типа: односторонние пределы бесконечны и не равны друг другу, никаким доопределением его не убрать.

Предел функции

Калькулятор

Как это считается

Виды неопределённостей

Примеры решения

Ноль на ноль: сокращаем общий множитель

Подставляем предельное значение

Раскладываем на множители

Сокращаем общий множитель

Подставляем в упрощённое выражение

Бесконечность на бесконечность: делим на старшую степень

Подставляем предельное значение

Делим на старшую степень

Отбрасываем убывающие слагаемые

Подставляем в упрощённое выражение

Односторонние пределы: когда предела нет

Проверяем пределы слева и справа

Вопросы

Похожие калькуляторы