Определитель матрицы

Заполни сетку — получишь определитель и разбор тем способом, который подходит размеру: формула, треугольники или разложение по строке.

РАЗМЕР

В клетках можно писать дроби и корни: 1/3, sqrt(2), -0.5. Пустая клетка считается нулём. Перемещение по сетке — стрелками вверх и вниз.

Как это считается

Общий способ — разложение по строке или столбцу: каждый элемент умножается на свой минор со знаком, зависящим от положения.

\det A = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} M_{i j}

Минор — это определитель матрицы, оставшейся после вычёркивания строки и столбца элемента. Знак чередуется в шахматном порядке, начиная с плюса в левом верхнем углу. Минор вместе со своим знаком называют алгебраическим дополнением — это и есть слагаемое в формуле выше, а сама она рекурсивна: определитель четвёртого порядка сводится к четырём определителям третьего.

Для размеров два и три есть готовые формулы, и считать по ним быстрее. Но правило треугольников — не общий метод, а мнемоника ровно для матрицы три на три: у четвёртого порядка слагаемых уже 24, и никакой схемы из диагоналей для них нет. Попытка применить треугольники к 4×4 — типичная ошибка на первом курсе.

Геометрический смысл объясняет, зачем определитель нужен: он показывает, во сколько раз матрица меняет объём. Ноль означает, что объём схлопнулся — строки линейно зависимы, и обратной матрицы у такой не существует.

Примеры расчёта

Матрица три на три: два способа, один ответ

\det [\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & - 2 \end{array}]

Правило треугольников

$\det A = (- 16 + - 5 + 0) - (60 + 4 + 0) = - 85$

Три произведения по главной диагонали и параллельным ей треугольникам идут со знаком плюс, три по побочной — со знаком минус. Правило работает только для матриц три на три.
Тот же ответ разложением по строке

$\det A = 2 \cdot - 10 - - 1 \cdot - 5 + 3 \cdot - 20 = - 85$

Разложение по первой строке даёт то же число и, в отличие от треугольников, работает при любом размере матрицы.
Ответ

$\det A = - 85$

Определитель ненулевой — матрица обратима, а система с такой матрицей имеет ровно одно решение.

Правило треугольников и разложение по строке дали одно число — так и должно быть. Разница в том, что треугольники работают только для матриц три на три, а разложение по строке — при любом размере.

Нулевой определитель: строки линейно зависимы

\det [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]

Правило треугольников

$\det A = (45 + 84 + 96) - (105 + 48 + 72) = 0$

Три произведения по главной диагонали и параллельным ей треугольникам идут со знаком плюс, три по побочной — со знаком минус. Правило работает только для матриц три на три.
Тот же ответ разложением по строке

$\det A = 1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 6 + 3 \cdot - 3 = 0$

Разложение по первой строке даёт то же число и, в отличие от треугольников, работает при любом размере матрицы.
Ответ

$\det A = 0$

Нулевой определитель означает, что строки линейно зависимы: обратной матрицы у такой нет, а система с ней не имеет единственного решения.

Ноль здесь не случайность: третья строка равна удвоенной второй минус первая. Матрица вырождена — обратной у неё нет, а система с такой матрицей либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много.

Вопросы

Что вообще показывает определитель?

Во сколько раз матрица растягивает объём. Определитель 3 означает утроение, отрицательный — что пространство вывернулось наизнанку, нулевой — что оно схлопнулось в плоскость или линию.

Почему правило треугольников не работает для 4×4?

Потому что оно не общая формула, а мнемоника для шести слагаемых определителя третьего порядка. У матрицы 4×4 слагаемых 24, и никакой схемы из диагоналей для них нет.

По какой строке лучше раскладывать?

По той, где больше нулей: нулевое слагаемое считать не нужно, и работы становится меньше. Столбцы годятся так же — определитель от транспонирования не меняется.

Определитель получился нулевым — это ошибка?

Скорее всего нет. Ноль означает, что строки линейно зависимы: одна выражается через остальные. Такая матрица называется вырожденной, и это нормальный результат.

Как определитель меняется при преобразованиях?

Перестановка двух строк меняет знак. Умножение строки на число умножает и определитель. Прибавление к строке другой строки не меняет его вовсе — на этом основан быстрый счёт через треугольный вид.

Есть ли определитель у прямоугольной матрицы?

Нет, только у квадратной. Для прямоугольных вводят ранг — он показывает, сколько в матрице линейно независимых строк.

При чём тут площадь?

Для матрицы 2×2 «растяжение объёма» — это буквально площадь. Если строки матрицы — координаты двух векторов, модуль определителя равен площади параллелограмма, построенного на них. У матрицы 3×3 та же логика даёт объём параллелепипеда на трёх векторах.

Определитель матрицы

Калькулятор

Как это считается

Примеры расчёта

Матрица три на три: два способа, один ответ

Правило треугольников

Тот же ответ разложением по строке

Ответ

Нулевой определитель: строки линейно зависимы

Правило треугольников

Тот же ответ разложением по строке

Ответ

Вопросы

Похожие калькуляторы