Ранг матрицы

Приведение к ступенчатому виду с показанными преобразованиями. Ответ подтверждается вторым способом — базисным минором. Матрица может быть и прямоугольной.

РАЗМЕР

В клетках можно писать дроби и корни: 1/3, sqrt(2), -0.5. Пустая клетка считается нулём. Перемещение по сетке — стрелками вверх и вниз.

Как это считается

Ранг — это число линейно независимых строк: тех, которые не выражаются через остальные. Больше, чем строк или чем столбцов, их быть не может.

rang A ⩽ \min (m, n)

Считают ранг приведением к ступенчатому виду. Три элементарных преобразования — обмен строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление к строке другой — ранг не меняют: линейные зависимости между строками при них сохраняются. В ступенчатом виде зависимые строки обнуляются, и остаётся просто их пересчитать.

Строчный ранг всегда равен столбцовому. Это не очевидно и доказывается отдельно, зато избавляет от половины работы: считать можно по строкам, а ответ годится и для столбцов.

Есть и второй способ — по минорам: ранг равен наибольшему порядку ненулевого минора. Для матриц до 4×4 калькулятор показывает такой минор, и он подтверждает ответ, полученный первым способом.

Примеры расчёта

Третья строка оказалась лишней

rang [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]

Оцениваем ранг сверху

$rang A ⩽ \min (3, 3) = 3$

Ранг не превосходит меньшего из двух размеров: больше линейно независимых строк, чем самих строк, быть не может — как и больше независимых столбцов, чем столбцов.
Обнуляем столбец 1

${строка}_{2} - 4 {строка}_{1}, {строка}_{3} - 7 {строка}_{1} ⟹ [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & - 3 & - 6 \\ 0 & - 6 & - 12 \end{array}]$

Из нижних строк вычитается ведущая с подходящим множителем. Такое преобразование ранг не меняет: новая строка — линейная комбинация старых, и линейная зависимость между строками сохраняется.
Обнуляем столбец 2

${строка}_{3} - 2 {строка}_{2} ⟹ [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & - 3 & - 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Из нижних строк вычитается ведущая с подходящим множителем. Такое преобразование ранг не меняет: новая строка — линейная комбинация старых, и линейная зависимость между строками сохраняется.
Считаем ненулевые строки

$[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & - 3 & - 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] ⟹ rang A = 2$

Ранг равен числу ненулевых строк ступенчатого вида. Нулевых строк получилось 1: столько строк исходной матрицы выражались через остальные.
Проверяем базисным минором

$\det [\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}] = - 3 \neq 0$

Второй способ найти ранг — по минорам: ранг равен наибольшему порядку ненулевого минора. Здесь подошёл минор на строках 1, 2 и столбцах 1, 2, а все миноры следующего порядка нулевые. Ответ сошёлся.

rang A = 2

Матрица квадратная порядка 3. Ранг 2 меньше порядка 3, значит определитель равен нулю и обратной матрицы не существует.
Строчный ранг всегда равен столбцовому: сколько линейно независимых строк, столько же и независимых столбцов. Поэтому считать можно по строкам — как здесь.

Ранг 2 при размере 3×3 значит, что одна строка выражается через две другие: здесь третья равна удвоенной второй минус первая. Определитель такой матрицы равен нулю, и обратной у неё нет.

Прямоугольная матрица: ранг ограничен меньшей стороной

rang [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{array}]

Оцениваем ранг сверху

$rang A ⩽ \min (2, 4) = 2$

Ранг не превосходит меньшего из двух размеров: больше линейно независимых строк, чем самих строк, быть не может — как и больше независимых столбцов, чем столбцов.
Обнуляем столбец 1

${строка}_{2} - 2 {строка}_{1} ⟹ [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Из нижних строк вычитается ведущая с подходящим множителем. Такое преобразование ранг не меняет: новая строка — линейная комбинация старых, и линейная зависимость между строками сохраняется.
Считаем ненулевые строки

$[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] ⟹ rang A = 1$

Ранг равен числу ненулевых строк ступенчатого вида. Нулевых строк получилось 1: столько строк исходной матрицы выражались через остальные.
Проверяем базисным минором

$\det [\begin{array}{c} 1 \end{array}] = 1 \neq 0$

Второй способ найти ранг — по минорам: ранг равен наибольшему порядку ненулевого минора. Здесь подошёл минор на строках 1 и столбцах 1, а все миноры следующего порядка нулевые. Ответ сошёлся.

rang A = 1

Строчный ранг всегда равен столбцовому: сколько линейно независимых строк, столько же и независимых столбцов. Поэтому считать можно по строкам — как здесь.

Строк всего две, поэтому больше двух ранг быть не мог. А вышел он равным единице: вторая строка вдвое больше первой, независимая среди них одна.

Вопросы

Что такое ранг простыми словами?

Число действительно разных строк — тех, которые не выражаются через остальные. Если одна строка вдвое больше другой, новой информации она не несёт, и в ранг не попадает.

Какие преобразования не меняют ранг?

Перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление к строке другой строки. Все три сохраняют линейные зависимости, а значит и число независимых строк.

Ранг по строкам и по столбцам может не совпасть?

Нет, он всегда один и тот же — это теорема о ранге матрицы. Поэтому считать удобно по строкам, а ответ годится и для столбцов.

Как ранг связан с определителем?

У квадратной матрицы порядка n определитель не равен нулю ровно тогда, когда ранг равен n. Меньший ранг означает нулевой определитель и отсутствие обратной матрицы.

Зачем ранг нужен в системах уравнений?

Теорема Кронекера — Капелли: система совместна, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной. А разность между рангом и числом неизвестных даёт количество свободных переменных.

Что такое метод окаймляющих миноров?

Второй способ: ищут ненулевой минор наибольшего порядка. Его порядок и есть ранг. Для матриц до 4×4 калькулятор показывает такой минор — он подтверждает ответ, полученный ступенчатым видом.

Почему в калькуляторе не бывает ошибки из-за округления?

Потому что все вычисления идут в точных дробях, а не в приближённых десятичных числах. У калькуляторов, которые считают в плавающей точке, минор с крошечным ненулевым значением вроде 1,254 × 10⁻¹² на глаз неотличим от нуля — легко занизить ранг. SymPy держит числа точными на каждом шаге: элемент либо ровно ноль, либо нет, без пограничных случаев.

Ранг матрицы

Калькулятор

Как это считается

Примеры расчёта

Третья строка оказалась лишней

Оцениваем ранг сверху

Обнуляем столбец 1

Обнуляем столбец 2

Считаем ненулевые строки

Проверяем базисным минором