К содержанию

Обратная матрица

Заполни сетку — получишь обратную матрицу с разбором: определитель, алгебраические дополнения, транспонирование и проверка умножением.

Калькулятор

РАЗМЕР

В клетках можно писать дроби и корни: 1/3, sqrt(2), -0.5. Пустая клетка считается нулём. Перемещение по сетке — стрелками вверх и вниз.

Как это считается

Обратная матрица — та, что возвращает пространство в исходное состояние: произведение с ней даёт единичную матрицу.

A−1=1det⁡A A~,A⋅A−1=E

Метод присоединённой матрицы состоит из трёх действий. Считаем определитель — если он нулевой, дальше идти некуда. Строим матрицу алгебраических дополнений: каждый элемент заменяется минором со знаком. Транспонируем её и делим на определитель.

Транспонирование пропускают чаще всего, и ошибка эта тихая: размер матрицы сходится, элементы выглядят правдоподобно, а ответ неверен. Находится она только проверкой — поэтому умножение на исходную стоит последним шагом всегда, а не по желанию.

Начиная с размера пять на пять этот метод перестаёт быть разумным: пришлось бы вычислить двадцать пять определителей четвёртого порядка. Там применяют Гаусса — Жордана: к матрице приписывают единичную справа и приводят левую половину к единичной, а правая сама превращается в обратную.

Свойства обратной матрицы

У обратной матрицы есть несколько свойств, которые упрощают работу с ней без пересчёта с нуля:

СВОЙСТВО СМЫСЛ
(A⁻¹)⁻¹ = A Обращение дважды возвращает исходную матрицу
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ Порядок множителей при обращении меняется на обратный
(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ Транспонирование и обращение можно поменять местами
det(A⁻¹) = 1/det A Обратно пропорционален определителю исходной матрицы

Второе свойство ломает интуицию чаще остальных: множители при обращении произведения меняются местами.

Примеры расчёта

Обратная к матрице два на два

[1234]−1

  1. Проверяем определитель

    det⁡A=−2≠0

    Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Это первое, что проверяют — иначе дальше считать нечего.

  2. Матрица алгебраических дополнений

    Aij=[4−3−21]

    Каждый элемент — минор со знаком: вычёркиваем его строку и столбец, берём определитель остатка, знак чередуется в шахматном порядке.

  3. Транспонируем — получаем присоединённую

    A~=[4−2−31]

    Присоединённая матрица — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Забыть транспонировать — самая частая ошибка в этом методе.

  4. Делим на определитель

    A−1=1−2⋅[4−2−31]=[−2132−12]

    Делим каждый элемент присоединённой матрицы на определитель.

  5. Проверяем умножением

    A⋅A−1=[1001]

    Произведение матрицы на обратную обязано дать единичную. Проверка занимает минуту и ловит любую ошибку в знаках.

Для матриц два на два присоединённая получается почти без вычислений: элементы главной диагонали меняются местами, у побочной меняется знак. Проверить себя стоит всегда — умножение на исходную обязано дать единичную.

Три на три: девять миноров

[2−1304152−2]−1

  1. Проверяем определитель

    det⁡A=−85≠0

    Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Это первое, что проверяют — иначе дальше считать нечего.

  2. Матрица алгебраических дополнений

    Aij=[−105−204−19−9−13−28]

    Каждый элемент — минор со знаком: вычёркиваем его строку и столбец, берём определитель остатка, знак чередуется в шахматном порядке.

  3. Транспонируем — получаем присоединённую

    A~=[−104−135−19−2−20−98]

    Присоединённая матрица — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Забыть транспонировать — самая частая ошибка в этом методе.

  4. Делим на определитель

    A−1=1−85⋅[−104−135−19−2−20−98]=[217−4851385−1171985285417985−885]

    Делим каждый элемент присоединённой матрицы на определитель.

  5. Проверяем умножением

    A⋅A−1=[100010001]

    Произведение матрицы на обратную обязано дать единичную. Проверка занимает минуту и ловит любую ошибку в знаках.

Главная ловушка метода — забыть транспонировать матрицу алгебраических дополнений. Ошибка тихая: размер сходится, ответ выглядит правдоподобно, и находится она только проверкой умножением.

Вопросы

Когда обратной матрицы не существует?

Когда определитель равен нулю. Такая матрица называется вырожденной: она схлопывает пространство, и обратить это преобразование нельзя — информация потеряна безвозвратно.

Зачем транспонировать матрицу алгебраических дополнений?

Так устроена присоединённая матрица: на месте (i, j) в ней стоит дополнение элемента (j, i). Пропустить транспонирование — самая частая ошибка: размер сходится, ответ выглядит правдоподобно, а он неверен.

Чем метод Гаусса — Жордана лучше присоединённой матрицы?

Объёмом работы. Для матрицы 5×5 присоединённая требует 25 определителей четвёртого порядка, а приведение к единичной — нескольких десятков сложений строк.

Как проверить, что ответ верный?

Умножить исходную матрицу на найденную: обязана получиться единичная. Проверка занимает минуту и ловит любую ошибку в знаках дополнений.

Зачем обратная матрица нужна на практике?

Через неё решают системы: если AX = B, то X = A⁻¹B. Ещё она нужна при смене базиса и в матричных уравнениях, где неизвестна целая матрица, а не число.

В ответе получились дроби — это нормально?

Да, и почти всегда. Все элементы делятся на определитель, поэтому целые числа выходят только когда он равен ±1. Дроби оставляют обыкновенными: десятичные накапливают погрешность.

Почему (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, а не A⁻¹B⁻¹?

Обращение отменяет действие произведения в обратном порядке — как со снятой одеждой: надел сначала рубашку, потом куртку, а снимать нужно в обратной последовательности, сначала куртку. Чтобы отменить сначала умножение на B, а потом на A, действовать нужно так же, в обратном порядке.

Похожие калькуляторы

Определитель матрицы До 6×6, разложение по строке Открыть → СЛАУ методом Гаусса Прямой и обратный ход с промежуточными матрицами Открыть → Умножение матриц Построчно, с проверкой размерностей Открыть → Метод Крамера Через определители, со всеми Δ Открыть →

обновлено

Источники: теорема о существовании обратной матрицы и метод присоединённой матрицы в объёме курса линейной алгебры · расчёт выполняется библиотекой SymPy 1.14.0; каждый ответ проверен умножением на исходную матрицу.

Нашёл неточность — напиши через форму, поправим.