Метод Крамера

Заполни коэффициенты и свободные члены — получишь все определители, ответ и проверку подстановкой. Нулевой определитель разбирается отдельно.

РАЗМЕР

В клетках можно писать дроби и корни: 1/3, sqrt(2), -0.5. Пустая клетка считается нулём. Перемещение по сетке — стрелками вверх и вниз.

Как это считается

Метод сводит решение системы к вычислению определителей. Каждая неизвестная равна своему определителю, делённому на главный:

x_{i} = \frac{Δ_{i}}{Δ}, Δ \neq 0

Главный определитель Δ составляется из коэффициентов при неизвестных. Определитель Δᵢ получается из него заменой одного столбца — того, что стоит при искомой переменной, — на столбец свободных членов. Для системы 3×3 определителей выходит четыре.

Условие Δ ≠ 0 — не формальность. Нулевой главный определитель означает, что уравнения зависимы: одно выводится из других. Такая система либо не имеет решений вовсе, либо имеет их бесконечно много, и деление на ноль здесь не техническая помеха, а признак того, что единственного ответа не существует.

Когда метод применим

Крамер и Гаусс решают одну задачу, но подходят для разных случаев.

	КРАМЕР	ГАУСС
Форма системы	Только квадратная	Любая
При Δ = 0	Не работает	Работает
Удобный размер	2×2 и 3×3	Любой
Что считать	n + 1 определитель	Преобразования строк
Ответ по одной переменной	Можно найти отдельно	Только все сразу

Последняя строка — единственное, в чём Крамер выигрывает по существу: если в задаче спрашивают только одну переменную, считать остальные не нужно. Хватит двух определителей вместо всех.

Примеры расчёта

Система 3×3: три вспомогательных определителя

(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 1 & 3 & 2 & 13 \\ 3 & - 1 & 1 & 4 \end{array})

Считаем главный определитель

$Δ = [\begin{array}{ccc} 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & - 1 & 1 \end{array}] = 25$

Главный определитель составляется из коэффициентов при неизвестных — свободные члены в него не входят. Именно он решает, применим ли метод.
Определитель по переменной x

$Δ_{x} = [\begin{array}{ccc} 8 & 1 & - 1 \\ 13 & 3 & 2 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}] = 60$

Столбец номер 1 — тот, что стоит при x, — заменён столбцом свободных членов. Остальные столбцы не трогаем.
Определитель по переменной y

$Δ_{y} = [\begin{array}{ccc} 2 & 8 & - 1 \\ 1 & 13 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{array}] = 85$

Столбец номер 2 — тот, что стоит при y, — заменён столбцом свободных членов. Остальные столбцы не трогаем.
Определитель по переменной z

$Δ_{z} = [\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 8 \\ 1 & 3 & 13 \\ 3 & - 1 & 4 \end{array}] = 5$

Столбец номер 3 — тот, что стоит при z, — заменён столбцом свободных членов. Остальные столбцы не трогаем.
Делим на главный определитель

$x = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}, y = \frac{85}{25} = \frac{17}{5}, z = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Каждая неизвестная равна своему определителю, делённому на главный. Порядок здесь важен: в числителе стоит Δ именно этой переменной.
Проверяем подстановкой

$2 \cdot (\frac{12}{5}) + 1 \cdot (\frac{17}{5}) + - 1 \cdot (\frac{1}{5}) = 8 1 \cdot (\frac{12}{5}) + 3 \cdot (\frac{17}{5}) + 2 \cdot (\frac{1}{5}) = 13 3 \cdot (\frac{12}{5}) + - 1 \cdot (\frac{17}{5}) + 1 \cdot (\frac{1}{5}) = 4$

Найденные значения подставляем в каждое уравнение. Все равенства верны — решение правильное. Проверка занимает минуту и ловит арифметику в определителях.

x = \frac{12}{5}, y = \frac{17}{5}, z = \frac{1}{5}

Главный определитель ненулевой, значит решение единственное — это и есть условие применимости формул. Обрати внимание, что ответы получились дробными: округлять их до десятичных не нужно, обыкновенная дробь и есть точный ответ.

Нулевой определитель: где метод заканчивается

(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 7 \end{array})

Считаем главный определитель

$Δ = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}] = 0$

Главный определитель составляется из коэффициентов при неизвестных — свободные члены в него не входят. Именно он решает, применим ли метод.
Главный определитель равен нулю

$Δ = 0 \Rightarrow формулы Крамера неприменимы$

Делить на ноль нельзя, и это не формальность: нулевой главный определитель означает, что уравнения системы зависимы. Единственного решения у неё нет.
Смотрим вспомогательные определители

$Δ_{x} = - 1, Δ_{y} = 1$

Хотя бы один из них ненулевой — система несовместна, решений нет вовсе. Все нулевые — решений бесконечно много, и записывают их через свободные переменные.
Сравниваем ранги

$rang A = 1, rang (A ∣ B) = 2, n = 2$

Ранги равны — решения есть, и их бесконечно много. Ранг расширенной матрицы больше — система несовместна. Это теорема Кронекера — Капелли, и она отвечает там, где Крамер уже бессилен.

система несовместна: решений нет

Второе уравнение — первое, умноженное на два, но правые части этому не соответствуют. Делить на нулевой определитель нельзя, и Крамер здесь бессилен: ответ даёт сравнение рангов, а общее решение — метод Гаусса.

Вопросы

Когда формулы Крамера не работают?

Когда главный определитель равен нулю или система неквадратная. Нулевой Δ означает, что уравнения зависимы: решений либо нет вовсе, либо бесконечно много, и формулы не дают ни того ни другого.

Что делать, если Δ = 0?

Сравнить ранги матрицы и расширенной матрицы. Равны — решений бесконечно много, различаются — система несовместна. Само решение при этом находят методом Гаусса; калькулятор показывает ранги и говорит, какой случай.

Как получается вспомогательный определитель?

В главном определителе заменяют один столбец на столбец свободных членов — тот столбец, что стоит при искомой переменной. Остальные столбцы не трогают. Для трёх неизвестных таких определителей три.

Крамер или Гаусс — что выбрать?

На 2×2 и 3×3 Крамер обычно быстрее и его легче проверить. С ростом размера он проигрывает: для 4×4 придётся считать пять определителей четвёртого порядка, тогда как Гаусс работает при любом Δ и любой форме системы.

Ответ вышел дробным — это нормально?

Да, определители целые далеко не всегда делятся нацело. Обыкновенная дробь и есть точный ответ, переводить её в десятичную не нужно — так только теряется точность.

Обязательно ли проверять решение?

Стоит: подстановка занимает минуту и ловит арифметическую ошибку в определителях, которую иначе не видно. Калькулятор делает эту проверку сам и показывает её отдельным шагом.

Почему xᵢ = Δᵢ/Δ вообще работает — что стоит за этой дробью?

Геометрически определитель 2×2 — площадь параллелограмма, построенного на столбцах матрицы коэффициентов. Δᵢ — площадь такого же параллелограмма, где один столбец заменён на вектор свободных членов. Отношение этих двух площадей и даёт координату решения — не совпадение, а прямое следствие того, как вектор решения раскладывается по столбцам.

Метод Крамера

Калькулятор

Как это считается

Когда метод применим

Примеры расчёта

Система 3×3: три вспомогательных определителя

Считаем главный определитель

Определитель по переменной x

Определитель по переменной y

Определитель по переменной z

Делим на главный определитель

Проверяем подстановкой

Нулевой определитель: где метод заканчивается

Считаем главный определитель

Главный определитель равен нулю

Смотрим вспомогательные определители

Сравниваем ранги

Вопросы

Похожие калькуляторы