К содержанию

Системы уравнений

Введи уравнения по одному в строке — переменные распознаются сами. Для линейной системы два на два покажем все три способа сразу.

Калькулятор

УРАВНЕНИЯ
ПРИМЕРЫ

Переменные распознаются сами. Enter — следующая строка или расчёт

Как это считается

Решить систему значит найти значения, при которых верны все уравнения одновременно. Систему линейных уравнений часто сокращают до СЛАУ — так её называют в учебниках и вузовских курсах. Для линейной системы способов три, и они дают один ответ:

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2x=ΔxΔ

Подстановка универсальна: выражаем переменную из одного уравнения и подставляем в остальные. Сложение быстрее там, где коэффициенты кратны — домножаем уравнения так, чтобы при вычитании переменная исчезла. Крамер обходится без промежуточных выражений вовсе, но требует квадратной системы с ненулевым определителем.

Для нелинейной системы остаётся только подстановка. Сложение и Крамер опираются на матрицу коэффициентов, а у слагаемого x² коэффициента в этом смысле нет. Поэтому уравнение с квадратом сначала сводят к одной переменной, и дальше решают как обычное — отсюда и несколько ответов.

Исходов у линейной системы три: единственное решение, бесконечно много и ни одного. Второе означает, что уравнения зависимы — на плоскости это одна и та же прямая, записанная дважды. Третье — что прямые параллельны. Есть и четвёртый способ решения — графический: построить каждое уравнение как линию на координатной плоскости и найти точку пересечения. Он нагляден именно из-за этих трёх исходов: одна точка пересечения, слившиеся линии или линии без общих точек.

Как выбрать способ

Формально любой линейный способ даёт один и тот же ответ, но не любой одинаково быстро подходит к конкретной системе. Ниже — на что смотреть при выборе.

СПОСОБ КОГДА ЧТО ДАЁТ
Подстановка Переменная выражается без дробей Работает всегда, включая нелинейные системы
Сложение Коэффициенты при переменной кратны или легко уравнять Быстрее подстановки, но только для линейных систем
Крамер Система квадратная, определитель не равен нулю Ответ сразу по формуле, без промежуточных выражений
Гаусс Переменных больше двух Пошаговое приведение к треугольному виду — видно каждое действие

Примеры расчёта

Линейная система: три способа, один ответ

{2x+y=5x−y=1

  1. Приводим уравнения к стандартному виду

    {2x+y−5=0x−y−1=0

    Переносим всё в левую часть. Знаки при переносе меняются — до этого выписывать коэффициенты нельзя.

  2. Способ подстановки: выражаем переменную

    x=52−y2

    Из первого уравнения выражаем ту переменную, у которой коэффициент проще — тогда в выражении не появятся лишние дроби.

  3. Подставляем во второе уравнение

    32−3y2=0  ⟹  y=1

    После подстановки во втором уравнении остаётся одна неизвестная — это и есть смысл способа.

  4. Возвращаемся к первой переменной

    x=2

    Найденное значение подставляем в выражение из первого шага.

  5. Способ сложения: уравниваем коэффициенты

    1⋅ур.1−2⋅ур.2  ⟹  3 y=3

    Домножаем уравнения так, чтобы коэффициенты при x стали одинаковыми, и вычитаем одно из другого. Эта переменная исчезает.

  6. Находим вторую переменную

    y=1

    Дальше — обычное линейное уравнение с одной неизвестной. Первая переменная находится обратной подстановкой в любое из исходных уравнений.

  7. Матричный способ: главный определитель

    Δ=[211−1]=−3≠0

    Ненулевой главный определитель означает, что решение существует и оно единственное. Нулевой — формулы Крамера неприменимы, нужен метод Гаусса.

  8. Вспомогательные определители

    Δx=−6,x=−6−3=2Δy=−3,y=−3−3=1

    В главном определителе заменяем столбец при нужной переменной на столбец свободных членов и делим на главный.

  9. Проверяем подстановкой

    x=2,y=1

    Подставляем найденные значения во все уравнения исходной системы: каждое обязано обратиться в верное равенство. Проверка обязательна — она ловит арифметическую ошибку на любом промежуточном шаге.

Подстановка, сложение и Крамер дали одно и то же — иначе и быть не может, это разные дороги к одной точке. Выбирают по удобству: сложение быстрее, когда коэффициенты кратны, подстановка — когда переменная выражается без дробей.

Окружность и прямая: два решения вместо одного

{x2+y2=25x+y=7

  1. Приводим уравнения к стандартному виду

    {x2+y2−25=0x+y−7=0

    Переносим всё в левую часть. Знаки при переносе меняются — до этого выписывать коэффициенты нельзя.

  2. Система нелинейная

    {x2+y2=25x+y=7

    Здесь не работают ни сложение, ни Крамер: они существуют только для линейных систем. Общий приём — выразить переменную из простого уравнения и подставить в остальные.

  3. Решений несколько

    x=3, y=4;x=4, y=3

    Нелинейная система может иметь несколько наборов решений — геометрически это несколько точек пересечения графиков.

  4. Проверяем подстановкой

    x=3,y=4

    Подставляем найденные значения во все уравнения исходной системы: каждое обязано обратиться в верное равенство. Проверка обязательна — она ловит арифметическую ошибку на любом промежуточном шаге.

Здесь пропадают и сложение, и Крамер: они существуют только для линейных систем. Остаётся подстановка, и она приводит к квадратному уравнению — отсюда два ответа. Геометрически это две точки, где прямая пересекает окружность.

Вопросы

Какой способ выбрать?

Сложение — когда коэффициенты при одной переменной кратны. Подстановка — когда переменная выражается без дробей. Крамер — когда нужен ответ без промежуточных выражений и система квадратная.

Почему для нелинейной системы показан только один способ?

Сложение и формулы Крамера существуют только для линейных систем — они опираются на матрицу коэффициентов, которой у x² просто нет. Подстановка работает всегда.

Откуда у нелинейной системы несколько ответов?

Подстановка приводит к квадратному или более сложному уравнению, а у него бывает несколько корней. Геометрически это несколько точек пересечения графиков.

Что значит «система несовместна»?

Уравнения противоречат друг другу: нет такого набора значений, при котором верны все сразу. Для двух прямых это означает, что они параллельны и не пересекаются.

Почему бывает бесконечно много решений?

Когда одно уравнение получается из другого умножением: на самом деле это одна и та же прямая. Независимых уравнений меньше, чем неизвестных, и часть переменных остаётся свободными.

Сколько уравнений можно ввести?

До пяти. Для больших линейных систем удобнее метод Гаусса: там показаны промежуточные матрицы после каждого преобразования, а не только итог.

Похожие калькуляторы

СЛАУ методом Гаусса Прямой и обратный ход с промежуточными матрицами Открыть → Метод Крамера Через определители, со всеми Δ Открыть → Квадратные уравнения Дискриминант и теорема Виета — оба способа Открыть → Определитель матрицы До 6×6, разложение по строке Открыть →

обновлено

Источники: способы решения систем и формулы Крамера в объёме школьного курса алгебры и курса линейной алгебры · расчёт выполняется библиотекой SymPy 1.14.0; найденные значения подставляются обратно во все уравнения системы.

Нашёл неточность — напиши через форму, поправим.