К содержанию

СЛАУ методом Гаусса

Введи коэффициенты и свободные члены — получишь решение с промежуточной матрицей после каждого преобразования.

Калькулятор

РАЗМЕР

В клетках можно писать дроби и корни: 1/3, sqrt(2), -0.5. Пустая клетка считается нулём. Перемещение по сетке — стрелками вверх и вниз.

Как это считается

Метод состоит из двух ходов. Прямой приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду, обратный поднимается снизу вверх и находит неизвестные. Сколько будет решений, определяют ранги:

rang⁡A=rang⁡(A∣b)=n  ⟹  решение единственно

Работают три элементарных преобразования: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление к строке другой, умноженной на число. Ни одно из них не меняет множества решений — именно поэтому систему можно упрощать сколько угодно, оставаясь при том же ответе.

Исходов ровно три, и все они законные. Ранги совпали и равны числу неизвестных — решение единственное. Ранги совпали, но меньше числа неизвестных — решений бесконечно много, и часть переменных становится свободными. Ранги разошлись — система несовместна: в ступенчатом виде появилась строка вида 0 = 1.

Свободные члены участвуют в преобразованиях наравне с коэффициентами — потому и пишут расширенную матрицу с чертой. Забыть про правый столбец при вычитании строк — самая частая ошибка прямого хода, и она не проявляется до самой подстановки.

Примеры расчёта

Система из трёх уравнений с единственным решением

(21−18−3−12−11−212−3)

  1. Записываем расширенную матрицу

    (21−18−3−12−11−212−3)

    Коэффициенты слева от черты, свободные члены справа. Все преобразования делаются сразу над всей строкой, вместе со свободным членом.

  2. Обнуляем столбец под ведущим элементом

    строка2+32 строка1,строка3+строка1  ⟹  (21−180121210215)

    Из каждой нижней строки вычитаем ведущую, умноженную на подходящий множитель. Ниже ведущего элемента остаются нули.

  3. Обнуляем столбец под ведущим элементом

    строка3−4 строка2  ⟹  (21−1801212100−11)

    Из каждой нижней строки вычитаем ведущую, умноженную на подходящий множитель. Ниже ведущего элемента остаются нули.

  4. Прямой ход закончен

    (21−1801212100−11)

    Матрица приведена к ступенчатому виду. Дальше сравниваем ранги — они решают, есть ли решение и сколько их.

  5. Обратный ход

    x1=2,x2=3,x3=−1

    Из последней строки находим последнюю неизвестную, подставляем её в предпоследнюю и поднимаемся вверх до первой.

  6. Проверяем подстановкой

    A⋅x=[8−11−3]=b

    Подставляем найденные значения в исходную систему: все уравнения обязаны обратиться в верные равенства.

Прямой ход обнуляет всё под диагональю, обратный поднимается снизу вверх. Подстановка в конце не формальность: она ловит арифметическую ошибку, допущенную на любом из промежуточных шагов.

Когда решений нет

(111112)

  1. Записываем расширенную матрицу

    (111112)

    Коэффициенты слева от черты, свободные члены справа. Все преобразования делаются сразу над всей строкой, вместе со свободным членом.

  2. Обнуляем столбец под ведущим элементом

    строка2−строка1  ⟹  (111001)

    Из каждой нижней строки вычитаем ведущую, умноженную на подходящий множитель. Ниже ведущего элемента остаются нули.

  3. Прямой ход закончен

    (111001)

    Матрица приведена к ступенчатому виду. Дальше сравниваем ранги — они решают, есть ли решение и сколько их.

  4. Система несовместна

    rang⁡A=1≠2=rang⁡(A∣b)

    В ступенчатом виде есть строка, где все коэффициенты нулевые, а свободный член нет: получилось равенство 0 = ненулю. Решений нет — это теорема Кронекера — Капелли.

В ступенчатом виде получилась строка «0 = 1» — равенство, не выполнимое ни при каких значениях. По теореме Кронекера — Капелли ранги разошлись, и система несовместна. Это законченный ответ, а не тупик в решении.

Вопросы

Какие преобразования строк разрешены?

Три: переставить две строки, умножить строку на ненулевое число, прибавить к строке другую, умноженную на число. Все они не меняют множество решений — в этом смысл метода.

Что делать, если ведущий элемент нулевой?

Поменять строку местами с любой нижней, где на этом месте не ноль. Если таких нет, столбец пропускается — соответствующая переменная окажется свободной.

Как понять, что решений нет?

В ступенчатом виде появляется строка, где все коэффициенты нулевые, а свободный член нет: получается 0 = 1. По теореме Кронекера — Капелли ранги основной и расширенной матрицы разошлись.

Когда решений бесконечно много?

Когда ранг совпал у обеих матриц, но меньше числа неизвестных. Разница показывает, сколько переменных остаются свободными: им придают произвольные значения, остальные выражаются через них.

Чем метод Гаусса лучше Крамера?

Объёмом работы и областью применения. Крамер требует вычислить n+1 определитель и работает только при квадратной невырожденной матрице. Гаусс справляется с любой системой, включая несовместные.

Обязательно ли приводить к единичной матрице?

Нет, до ступенчатого вида достаточно — дальше идёт обратный ход. Приведение к единичной называется методом Гаусса — Жордана: обратного хода там нет, но сложений строк больше.

Метод Гаусса применяется только к системам вида Ax = b?

Нет, тем же методом решают и однородные системы Ax = 0 — например, чтобы найти коэффициенты, уравновешивающие реакцию: закон сохранения количества атомов каждого элемента даёт систему, где решение не одна точка, а целое семейство, из которого берут наименьшие целые числа.

Похожие калькуляторы

Определитель матрицы До 6×6, разложение по строке Открыть → Обратная матрица Методом присоединённой матрицы и Гаусса Открыть → Метод Крамера Через определители, со всеми Δ Открыть → Системы уравнений Подстановка, сложение и матричный способ Открыть →

обновлено

Источники: метод Гаусса и теорема Кронекера — Капелли в объёме курса линейной алгебры · расчёт выполняется библиотекой SymPy 1.14.0; найденное решение подставляется обратно в систему для проверки.

Нашёл неточность — напиши через форму, поправим.