К содержанию

Квадратные уравнения

Введи уравнение — получишь коэффициенты, дискриминант, корни и проверку по Виете. Можно и с двумя частями: перенос покажем отдельным шагом.

Калькулятор

Можно и без = 0 — тогда считаем, что справа ноль

Как это считается

Уравнение приводят к виду ax² + bx + c = 0, где a — старший коэффициент, b — коэффициент при x, c — свободный член, и считают дискриминант — он один отвечает на вопрос, сколько будет корней:

x1,2=−b±D2a,D=b2−4ac

Положительный дискриминант — два корня, ноль — один, отрицательный — действительных корней нет. Само по себе значение D ответом не является, хотя в тетрадях его нередко подчёркивают как результат.

Главная ошибка случается до формулы, а не в ней: при переносе слагаемых через знак равенства меняется знак. В уравнении 2x² = 7x − 3 коэффициент b равен −7, а не 7. Подставишь семёрку со знаком плюс — получишь чужой ответ, причём внешне правдоподобный, и ошибку в нём уже не разглядеть.

Теорема Виета — не отдельный метод, а следствие той же формулы: сумма корней равна −b/a, произведение равно c/a. Отсюда её двойная роль. Проверка занимает пятнадцать секунд и ловит арифметические промахи, а при старшем коэффициенте 1 — такое уравнение называют приведённым — и целых корнях заменяет дискриминант целиком.

Примеры расчёта

Целые корни: дискриминант и Виета дают одно и то же

x2−5x+6=0

  1. Выписываем коэффициенты

    a=1,b=−5,c=6

    Знак входит в коэффициент: в уравнении с −5x коэффициент b равен −5, а не 5. На этом теряют решение чаще, чем на самой формуле.

  2. Считаем дискриминант

    D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅6=1

    Дискриминант отвечает на один вопрос — сколько у уравнения корней. Само по себе это число ответом не является.

  3. Находим корни

    x1,2=−b±D2a=5±12  ⟹  x1=2,  x2=3

    Дискриминант положительный — корня два, и они различны. Знак минус перед b относится ко всему коэффициенту вместе с его знаком.

  4. Проверяем по теореме Виета

    x1+x2=5,x1⋅x2=6

    Сумма корней равна −b/a, произведение — c/a. Это проверка на пятнадцать секунд: не сошлось — ошибка в вычислениях, а не в формуле.

  5. Тот же ответ через Виету

    {x1+x2=5x1⋅x2=6  ⟹  2,  3

    При старшем коэффициенте 1 и целых корнях их проще подобрать: ищем два числа с известной суммой и произведением. Дискриминант тут не нужен.

  6. Разложение на множители

    x2−5x+6=(x−3)(x−2)

    Найденные корни сразу дают разложение — это и есть смысл решения уравнения: многочлен распался на скобки.

x1=2,x2=3

Два способа сошлись, и это не совпадение: Виета — следствие той же формулы. Когда старший коэффициент равен единице, а корни целые, подбор быстрее — на контрольной это экономит минуты.

Отрицательный дискриминант

x2+x+1=0

  1. Выписываем коэффициенты

    a=1,b=1,c=1

    Знак входит в коэффициент: в уравнении с −5x коэффициент b равен −5, а не 5. На этом теряют решение чаще, чем на самой формуле.

  2. Считаем дискриминант

    D=b2−4ac=(1)2−4⋅1⋅1=−3

    Дискриминант отвечает на один вопрос — сколько у уравнения корней. Само по себе это число ответом не является.

  3. Действительных корней нет

    D=−3<0  ⟹  x1,2=−12−3i2,  −12+3i2

    Отрицательный дискриминант означает, что парабола не пересекает ось x. В школьном курсе ответ здесь — «корней нет».

действительных корней нет

Здесь нечего исправлять и не в чем искать ошибку: парабола целиком лежит выше оси x и просто не пересекает её. «Корней нет» — это законченный ответ, а не признак того, что решение не доведено до конца.

Вопросы

Дискриминант отрицательный — что писать в ответе?

«Действительных корней нет». Это законченный ответ, а не признак недоделанного решения: парабола просто не пересекает ось x.

Когда быстрее считать по Виете, а не через дискриминант?

Когда старший коэффициент равен единице и корни целые. Подобрать два числа с нужной суммой и произведением — секунды. Дробные или иррациональные корни так не угадать.

Что делать, если уравнение неполное?

Дискриминант работает и там, но проще иначе: из ax²+bx=0 выносим x за скобки, из ax²+c=0 выражаем x². Ответ тот же, действий меньше.

Дискриминант получился большим и некрасивым — я ошибся?

Не обязательно. Некруглый дискриминант означает иррациональные корни, а не ошибку. Проверить себя можно по Виете: сумма должна дать −b/a.

Почему у уравнения с D = 0 говорят «два корня»?

Формально их два, но они совпали. Такой корень называют кратным: в разложении множитель (x − x₀) стоит в квадрате, а график касается оси, не пересекая её.

Можно ли вводить уравнение с двумя частями?

Да, вида x² = 5x − 6. Калькулятор сам перенесёт всё влево и покажет этот шаг отдельно — именно на нём теряют знак чаще всего.

Обязательно считать дискриминант, если корни видны сразу?

Нет. x² − 9 = 0 — это разность квадратов, по формуле сокращённого умножения раскладывается на (x − 3)(x + 3): корни 3 и −3 видны без вычислений. Дискриминант даст тот же ответ, но длиннее — считать его есть смысл, когда быстрого разложения не видно.

Похожие калькуляторы

Производная функции С правилами дифференцирования по шагам Открыть → Системы уравнений Подстановка, сложение и матричный способ Открыть → Разложение на множители Вынесение общего множителя и группировка Открыть →

обновлено

Источники: формула корней квадратного уравнения и теорема Виета в объёме школьного курса алгебры 8 класса · расчёт выполняется библиотекой SymPy 1.14.0, примеры на странице пресчитаны ей же и проверены подстановкой корней.

Нашёл неточность — напиши через форму, поправим.