Разложение на множители

Калькулятор не просто раскладывает, а называет приём: общий множитель, формула сокращённого умножения, группировка или корни.

ВЫРАЖЕНИЕ

Приёмы:

Как это считается

Разложить на множители — значит превратить сумму в произведение. В задаче требуют обычно не ответ, а способ, поэтому калькулятор называет каждый применённый приём.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) a^{2} + b^{2} - не раскладывается

Сумма квадратов не раскладывается. Она выглядит близкой роднёй разности, и её регулярно превращают в (a + b)². Но это другое выражение: в нём есть слагаемое 2ab, которого в сумме квадратов нет.

Порядок действий один и тот же. Сначала выносят общий множитель — после этого формула, которой не было видно, часто становится очевидной. Потом пробуют формулы сокращённого умножения. Если не подошли и слагаемых четыре — группируют. Квадратный трёхчлен в крайнем случае раскладывают по корням.

При вынесении минуса меняются знаки всех слагаемых в скобке, а не первого.

Приёмы по порядку

Правый столбец — признак, по которому приём и выбирают.

ПРИЁМ	ФОРМУЛА	КОГДА
Общий множитель	$a b + a c = a (b + c)$	всегда проверяют первым
Разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	два слагаемых, оба квадраты
Квадрат суммы	$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$	три слагаемых, среднее — удвоенное
Разность кубов	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$	два слагаемых, оба кубы
Группировка	$a x + a y + b x + b y = (a + b) (x + y)$	четыре слагаемых, формулы не подошли
По корням	$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	трёхчлен, корни находятся

Примеры расчёта

Разность квадратов — и почему сумма не раскладывается

x^{2} - 9

Применили разность квадратов

$(x - 3) (x + 3)$

a² − b² = (a − b)(a + b), здесь a = x, b = 3. Сумма квадратов, в отличие от разности, не раскладывается вовсе — это разные случаи, и путать их нельзя.
Проверяем умножением

$(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9$

Раскрытие скобок возвращает исходный многочлен — значит, разложение верное. Это единственная надёжная проверка, и делать её стоит всегда.

(x - 3) (x + 3)

Формула работает только для разности. У x² + 9 разложения нет: превратить сумму квадратов в (x + 3)² нельзя, во втором выражении есть лишнее слагаемое 6x. Это две разные вещи, и путают их постоянно.

Сначала общий множитель, потом формула

3 x^{3} - 12 x

Выносим общий множитель

$3 x (x^{2} - 4)$

Во всех слагаемых есть множитель 3 x — его выносят за скобку. В скобке остаётся частное: каждое слагаемое делится на вынесенный множитель, а не уменьшается на него.
Применили разность квадратов

$3 x (x - 2) (x + 2)$

a² − b² = (a − b)(a + b), здесь a = x, b = 2. Сумма квадратов, в отличие от разности, не раскладывается вовсе — это разные случаи, и путать их нельзя.
Проверяем умножением

$3 x (x - 2) (x + 2) = 3 x^{3} - 12 x$

Раскрытие скобок возвращает исходный многочлен — значит, разложение верное. Это единственная надёжная проверка, и делать её стоит всегда.

3 x (x - 2) (x + 2)

Порядок важен: без вынесения 3x разность квадратов не видна, а после вынесения она очевидна. Общий множитель ищут первым делом всегда — это упрощает всё, что идёт следом.

Группировка: когда формулы не подходят

a x + a y + b x + b y

Сгруппировали слагаемые

$(a + b) (x + y)$

Слагаемые разбиты на группы с общим множителем, из каждой он вынесен, а затем вынесена и общая скобка. Группировать можно по-разному — важно лишь, чтобы в скобках получилось одно и то же.
Проверяем умножением

$(a + b) (x + y) = a x + a y + b x + b y$

Раскрытие скобок возвращает исходный многочлен — значит, разложение верное. Это единственная надёжная проверка, и делать её стоит всегда.

(a + b) (x + y)

Четыре слагаемых разбиты на пары с общим множителем, из каждой он вынесен, а дальше вынеслась общая скобка. Разбить можно было и иначе — по x и по y, — результат получился бы тот же.

Вопросы

Раскладывается ли сумма квадратов?

Нет. a² + b² на множители не раскладывается ни по каким формулам. Превратить её в (a + b)² нельзя: там есть лишнее слагаемое 2ab. Раскладывается только разность квадратов.

С чего начинать разложение?

С общего множителя — его проверяют первым. У 3x³ − 12x разность квадратов появляется только после вынесения 3x.

Что происходит со знаками при вынесении минуса?

Меняются знаки всех слагаемых в скобке, а не только первого. −x² + 5x − 6 превращается в −(x² − 5x + 6). Забытый знак у последнего слагаемого не сходится при проверке умножением.

Как проверить, что разложил правильно?

Раскрыть скобки обратно. Если получился исходный многочлен — разложение верное. Это единственная надёжная проверка, и калькулятор показывает её отдельным шагом.

Почему калькулятор пишет, что разложить нельзя?

Так бывает: у x² + x + 1 отрицательный дискриминант, корней нет, и линейных множителей тоже. У x² − 2 корни есть, но иррациональные, поэтому над целыми числами разложения нет — форма с корнями показывается отдельной пометкой.

Чем разложение отличается от упрощения?

Упрощение сокращает запись, разложение превращает сумму в произведение. Разложенный вид обычно длиннее исходного, зато с ним можно сокращать дроби, решать уравнения и находить область определения.

Раскладывает ли калькулятор кубические и более сложные многочлены?

Да, многочлены до шестой степени. После вынесения общего множителя для них ищутся рациональные корни: по теореме Безу подходящими кандидатами оказываются делители свободного члена. Каждый найденный корень x₀ даёт линейный множитель (x − x₀), а в скобках остаётся многочлен на степень ниже — с ним поступают так же, пока не останутся только линейные и неразложимые квадратные множители.

Разложение на множители

Калькулятор

Как это считается

Приёмы по порядку

Примеры расчёта

Разность квадратов — и почему сумма не раскладывается

Применили разность квадратов

Проверяем умножением

Сначала общий множитель, потом формула

Выносим общий множитель

Применили разность квадратов

Проверяем умножением

Группировка: когда формулы не подходят

Сгруппировали слагаемые

Проверяем умножением

Вопросы

Похожие калькуляторы