Неравенства

Q: Почему нельзя умножить обе части на знаменатель?

Потому что его знак зависит от x, а значит, неизвестно, переворачивать неравенство или нет. Умножение сразу теряет часть решений. Дробь оставляют как есть и решают методом интервалов.

Q: Знак нестрогий — почему точка всё равно выколота?

Если это ноль знаменателя. В такой точке выражение не существует вовсе, поэтому она не входит в ответ ни при каком знаке. Нули числителя при нестрогом знаке входят.

Q: Что такое метод интервалов?

Нули разбивают прямую на промежутки, внутри каждого знак постоянен. Подставляем по точке из промежутка и выбираем подходящие.

Q: Как записать ответ из двух промежутков?

Через знак объединения: (−∞; −2] ∪ [2; +∞). Двойным неравенством такое не записывается — запись вида −2 ⩾ x ⩾ 2 читается как «одновременно» и смысла не имеет.

Q: Ответ «решений нет» — это ошибка?

Нет, это полноценный ответ. У x² + 1 < 0 решений действительно не существует: выражение положительно при любом x. Так же законен и ответ «любое x».

Q: Калькулятор решает неравенства с модулем?

Да, вида |f(x)| ⋛ a — раскрывается по определению модуля на два случая. Неравенства с двумя модулями сразу (|x−3| < |x+1|) он пока не считает: там разбор идёт по другому алгоритму, через отдельные промежутки знакопостоянства каждого модуля.

Q: А логарифмическое неравенство?

Простейшее — с одним логарифмом с одной стороны, вида log_a f(x) ⋛ b. Калькулятор сам смотрит на основание: если оно меньше единицы, направление знака при переходе к аргументу меняется на противоположное, если больше — остаётся как есть.

Линейные, квадратные и дробно-рациональные. Разбор по методу интервалов, ответ промежутками — со скобками, которые не спутать.

НЕРАВЕНСТВО

Знак:

Попробовать:

Как это считается

Неравенство решается почти как уравнение — с одним исключением, из-за которого и теряют половину баллов.

- 2 x > 6 ⟹ x < - 3

Умножение и деление на отрицательное переворачивает знак. При переносе слагаемых знак неравенства не меняется, а вот при делении на −2 — меняется обязательно. Ошибка даёт зеркальный промежуток, который выглядит совершенно нормально.

Дальше линейного работает метод интервалов: всё переносится влево, выражение раскладывается на множители, нули отмечаются на прямой. Между соседними нулями знак поменяться не может — достаточно подставить по точке из каждого промежутка.

В дробном неравенстве умножать обе части на знаменатель нельзя: его знак зависит от x, и неизвестно, переворачивать ли неравенство. Нули знаменателя при этом выкалываются всегда — даже когда знак нестрогий.

Неравенство с модулем раскрывается по его определению: |f(x)| < a при положительном a равносильно двойному −a < f(x) < a, а |f(x)| > a распадается на два отдельных случая — f(x) < −a или f(x) > a. Нестрогий знак работает так же, только границы уже входят в ответ.

У логарифмического неравенства своя тонкость — знак основания. Если основание больше единицы, логарифм возрастает, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. Если основание меньше единицы (например, 0,5), логарифм убывает, и знак переворачивается — та же логика, что при делении на отрицательное число.

Как записать ответ

Скобки — то место, где верно решённое неравенство теряет балл.

УСЛОВИЕ	ЗАПИСЬ	ПОЧЕМУ
x > 2	$(2; + \infty)$	строгий знак — точка не входит
x ⩾ 2	$[2; + \infty)$	нестрогий — точка входит
x ≠ 2	$(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$	ноль знаменателя — выкалывается всегда
нет решений	$\emptyset$	законченный ответ, а не ошибка

У бесконечности скобка всегда круглая — достичь её нельзя.

Примеры расчёта

Линейное: где переворачивается знак

- 2 x - 6 > 0

Переносим всё в левую часть

$- 2 x - 6 > 0$

Сравнивать с нулём удобнее: дальше достаточно понять, где выражение положительно, а где отрицательно. При переносе через знак неравенства меняется знак слагаемого, но не знак самого неравенства.
Переносим слагаемое без переменной

$- 2 x > 6$

Свободное слагаемое уходит в правую часть со сменой знака. Знак самого неравенства при переносе не меняется — переносить можно так же, как в уравнении.
Делим на отрицательное — знак переворачивается

$x < - 3$

Обе части делятся на -2, и это отрицательное число. При делении на отрицательное знак неравенства меняется на противоположный. Это самая частая ошибка в линейных неравенствах: ответ получается зеркальным и выглядит совершенно нормально.
Записываем ответ

$x \in (- \infty; - 3)$

Промежутки со знаком, который требует условие, объединяются. Круглая скобка — точка не входит, квадратная — входит. У бесконечности скобка всегда круглая: достичь её нельзя.

x \in (- \infty; - 3)

Ответ x < −3, а не x > −3. Обе части делились на −2, и при делении на отрицательное знак неравенства меняется. Ошибка даёт зеркальный промежуток, который выглядит совершенно нормально.

Квадратное: метод интервалов

x^{2} - 4 ⩾ 0

Раскладываем на множители

$(x - 2) (x + 2) ⩾ 0$

Разложение показывает нули сразу: произведение обращается в ноль там, где обнуляется любой множитель. Искать их по отдельности не нужно.
Отмечаем на прямой нули

$x = - 2; 2$

Это точки, где выражение обращается в ноль. Между ними знак меняться не может, поэтому достаточно проверить его по одному разу на каждом промежутке.
Определяем знак на каждом промежутке

$(- \infty; - 2) \to +, (- 2; 2) \to -, (2; + \infty) \to +$

В каждый промежуток подставляется любая его точка — знак внутри промежутка везде одинаковый. Считать точное значение не нужно, важен только знак произведения множителей.
Записываем ответ

$x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

Промежутки со знаком, который требует условие, объединяются. Круглая скобка — точка не входит, квадратная — входит. У бесконечности скобка всегда круглая: достичь её нельзя.

x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)

Знак нестрогий, поэтому корни входят в ответ — скобки квадратные. У бесконечности скобка всегда круглая, достичь её нельзя. Промежутков два, и объединять их надо знаком ∪, а не записывать как двойное неравенство: −2 ⩾ x ⩾ 2 не имеет смысла.

Дробное: выколотая точка при нестрогом знаке

\frac{x - 1}{x - 2} ⩾ 0

Приводим к одной дроби

$\frac{x - 1}{x - 2} ⩾ 0$

Умножать обе части на знаменатель нельзя: его знак зависит от x, а вместе с ним неизвестно, переворачивать ли знак неравенства. Поэтому дробь оставляют как есть и решают методом интервалов.
Отмечаем на прямой нули

$x = 1; 2$

Нули числителя — точки, где выражение равно нулю. Нули знаменателя (2) выкалываются всегда, даже при нестрогом знаке: там деление на ноль, и значение просто не существует.
Определяем знак на каждом промежутке

$(- \infty; 1) \to +, (1; 2) \to -, (2; + \infty) \to +$

В каждый промежуток подставляется любая его точка — знак внутри промежутка везде одинаковый. Считать точное значение не нужно, важен только знак произведения множителей.
Записываем ответ

$x \in (- \infty; 1] \cup (2; + \infty)$

Промежутки со знаком, который требует условие, объединяются. Круглая скобка — точка не входит, квадратная — входит. У бесконечности скобка всегда круглая: достичь её нельзя.

x \in (- \infty; 1] \cup (2; + \infty)

Единица входит в ответ, двойка — нет, хотя знак у обеих один и тот же. В двойке знаменатель обращается в ноль, и выражение там просто не существует. Нули знаменателя выкалываются всегда, независимо от строгости знака.

Вопросы

Когда переворачивается знак неравенства?

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число. При переносе слагаемых через знак — нет, там меняется только знак самого слагаемого. Из −2x > 6 получается x < −3.

Почему нельзя умножить обе части на знаменатель?

Потому что его знак зависит от x, а значит, неизвестно, переворачивать неравенство или нет. Умножение сразу теряет часть решений. Дробь оставляют как есть и решают методом интервалов.

Знак нестрогий — почему точка всё равно выколота?

Если это ноль знаменателя. В такой точке выражение не существует вовсе, поэтому она не входит в ответ ни при каком знаке. Нули числителя при нестрогом знаке входят.

Что такое метод интервалов?

Нули разбивают прямую на промежутки, внутри каждого знак постоянен. Подставляем по точке из промежутка и выбираем подходящие.

Как записать ответ из двух промежутков?

Через знак объединения: (−∞; −2] ∪ [2; +∞). Двойным неравенством такое не записывается — запись вида −2 ⩾ x ⩾ 2 читается как «одновременно» и смысла не имеет.

Ответ «решений нет» — это ошибка?

Нет, это полноценный ответ. У x² + 1 < 0 решений действительно не существует: выражение положительно при любом x. Так же законен и ответ «любое x».

Калькулятор решает неравенства с модулем?

Да, вида |f(x)| ⋛ a — раскрывается по определению модуля на два случая. Неравенства с двумя модулями сразу (|x−3| < |x+1|) он пока не считает: там разбор идёт по другому алгоритму, через отдельные промежутки знакопостоянства каждого модуля.

А логарифмическое неравенство?

Простейшее — с одним логарифмом с одной стороны, вида log_a f(x) ⋛ b. Калькулятор сам смотрит на основание: если оно меньше единицы, направление знака при переходе к аргументу меняется на противоположное, если больше — остаётся как есть.

Неравенства

Калькулятор

Как это считается

Как записать ответ

Примеры расчёта

Линейное: где переворачивается знак

Переносим всё в левую часть

Переносим слагаемое без переменной

Делим на отрицательное — знак переворачивается

Записываем ответ

Квадратное: метод интервалов

Раскладываем на множители

Отмечаем на прямой нули

Определяем знак на каждом промежутке

Записываем ответ

Дробное: выколотая точка при нестрогом знаке

Приводим к одной дроби

Отмечаем на прямой нули

Определяем знак на каждом промежутке

Записываем ответ

Вопросы

Похожие калькуляторы