Логарифмы

Вычисли логарифм по любому основанию. Если точный ответ существует, покажем именно его, а не десятичное приближение.

ОСНОВАНИЕ ЧИСЛО ПОД ЗНАКОМ

ОСНОВАНИЕ

Дроби и корни понимаются: 1/8, sqrt(2), e^3

Как это считается

Логарифм — это показатель степени. Запись log_a b означает: в какую степень возвести a, чтобы получить b.

\log_{a} b = x ⟺ a^{x} = b

Отсюда и способ считать без калькулятора: попробовать записать число степенью основания. Восемь — это 2³, значит log₂8 = 3. Одна треть получается так же: 2 — это восьмёрка в степени 1/3, поэтому log₈2 = 1/3.

Точный ответ есть не всегда. Пятёрка степенью двойки не является ни при каком рациональном показателе, и log₂5 — иррациональное число. Тогда пользуются формулой перехода к новому основанию и округляют. Калькулятор различает эти случаи: где ответ точный, там стоит знак равенства, где приближённый — знак ≈.

Свойства логарифмов

Все они следуют из свойств степеней — логарифм превращает умножение в сложение, а возведение в степень в умножение.

Логарифм произведения

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Логарифм частного

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Степень выносится вперёд

\log_{a} x^{k} = k \log_{a} x

Переход к новому основанию

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

Основное логарифмическое тождество

a^{\log_{a} b} = b

Частные случаи

\log_{a} 1 = 0, \log_{a} a = 1

Первые три работают только при одинаковых основаниях. Разные основания сначала сводят к общему четвёртой формулой — в качестве c обычно берут 10 или e.

Примеры вычисления

Целый ответ: число — степень основания

\log_{2} 8

Вспоминаем определение

$\log_{2} 8 = x ⟺ 2^{x} = 8$

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под знаком. Вся задача сводится к поиску этого показателя.
Переходим к новому основанию

$\log_{2} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2}$

Степенью основания число не представляется, значит точного «школьного» ответа нет. Формула перехода позволяет свести логарифм к натуральным — их считает любой калькулятор.
Считаем приближённо

$\log_{2} 8 \approx 3,000$

Точное значение иррационально, поэтому его округляют. В задачниках обычно оставляют два знака после запятой: 3,00.
Проверяем возведением в степень

$2^{3} = 8$

Проверка занимает секунду: возводим основание в полученный показатель и должны получить исходное число.

\log_{2} 8 = 3

Восемь — это два в кубе, и показатель степени сразу даёт ответ. Такие логарифмы считают устно: достаточно узнать в числе степень основания, калькулятор для этого не нужен.

Дробный показатель: корень — тоже степень

\log_{9} 27

Вспоминаем определение

$\log_{9} 27 = x ⟺ 9^{x} = 27$

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под знаком. Вся задача сводится к поиску этого показателя.
Переходим к новому основанию

$\log_{9} 27 = \frac{\ln 27}{\ln 9}$

Степенью основания число не представляется, значит точного «школьного» ответа нет. Формула перехода позволяет свести логарифм к натуральным — их считает любой калькулятор.
Считаем приближённо

$\log_{9} 27 \approx 1,500$

Точное значение иррационально, поэтому его округляют. В задачниках обычно оставляют два знака после запятой: 1,50.
Проверяем возведением в степень

$9^{\frac{3}{2}} = 27$

Проверка занимает секунду: возводим основание в полученный показатель и должны получить исходное число.

\log_{9} 27 = \frac{3}{2}

Ответ 3/2 смущает, пока не вспомнишь, что 9^(3/2) — это девятка в кубе под корнем, то есть 27. Дробный показатель означает корень, и логарифм спокойно бывает дробным.

Когда точного ответа нет

\log_{2} 5

Вспоминаем определение

$\log_{2} 5 = x ⟺ 2^{x} = 5$

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под знаком. Вся задача сводится к поиску этого показателя.
Переходим к новому основанию

$\log_{2} 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2}$

Степенью основания число не представляется, значит точного «школьного» ответа нет. Формула перехода позволяет свести логарифм к натуральным — их считает любой калькулятор.
Считаем приближённо

$\log_{2} 5 \approx 2,322$

Точное значение иррационально, поэтому его округляют. В задачниках обычно оставляют два знака после запятой: 2,32.

\log_{2} 5 \approx 2,322

Пятёрка степенью двойки не является, поэтому точного значения в виде дроби не существует — оно иррационально. Здесь и нужна формула перехода к новому основанию, а ответ округляют.

Вопросы

Почему число под логарифмом должно быть положительным?

Потому что логарифм — это показатель степени. Положительное основание в любой степени даёт положительное число: нуля или отрицательного результата не получить ни при каком показателе, поэтому и логарифма у них нет.

Почему основание не может быть единицей?

Единица в любой степени остаётся единицей. Уравнение 1ˣ = b решений не имеет ни при каком b, кроме самой единицы, а там их бесконечно много — ни то ни другое логарифмом быть не может.

Чем отличаются lg, ln и log?

Это один и тот же логарифм с разными основаниями. lg — по основанию 10, десятичный. ln — по основанию e ≈ 2,718, натуральный. Запись log без указания основания в школе обычно означает десятичный, в вузе — натуральный, и уточнять стоит.

Что такое двоичный логарифм?

Логарифм по основанию 2, его обозначают lb или log₂. В школьной алгебре он не выделен отдельно — считается как любой другой, — зато в информатике встречается постоянно: log₂(1 000 000) ≈ 20 показывает, сколько сравнений нужно бинарному поиску, чтобы найти элемент среди миллиона.

Может ли логарифм быть отрицательным?

Да, и это не ошибка. Отрицательный он тогда, когда число под знаком меньше единицы, а основание больше: log₂(1/8) = −3, потому что 2⁻³ = 1/8. Само число под знаком при этом остаётся положительным.

Почему ответ вышел дробным?

Потому что дробный показатель — это корень. log₉27 = 3/2, так как 9^(3/2) равно корню из девяти в кубе, то есть 27. Дробный логарифм так же нормален, как целый.

Когда точного ответа не существует?

Когда число не является степенью основания — например log₂5. Такое значение иррационально, точной дроби у него нет, и его находят через переход к новому основанию, а затем округляют.

Логарифмы

Калькулятор

Как это считается

Свойства логарифмов

Примеры вычисления

Целый ответ: число — степень основания

Вспоминаем определение

Переходим к новому основанию

Считаем приближённо

Проверяем возведением в степень

Дробный показатель: корень — тоже степень

Вспоминаем определение

Переходим к новому основанию

Считаем приближённо

Проверяем возведением в степень

Когда точного ответа нет

Вспоминаем определение

Переходим к новому основанию

Считаем приближённо

Вопросы

Похожие калькуляторы