Упрощение выражений

Раскрытие скобок, приведение подобных и сокращение дробей по шагам. Ограничения ОДЗ калькулятор находит до преобразований и не теряет их в ответе.

ВЫРАЖЕНИЕ

Действия:

Как это считается

Упростить — значит записать то же самое короче: раскрыть скобки, сложить подобные, привести дроби к общему знаменателю и сократить. Порядок именно такой: каждое следующее действие видно только после предыдущего.

Сокращение меняет область определения. Это единственное место темы, где верное преобразование даёт неверный ответ.

\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = x + 2 при x \neq 2

Слева дробь в точке x = 2 не существует: знаменатель обращается в ноль. Справа x + 2 в двойке даёт 4. Это разные функции, и равенство держится только на приписке. Поэтому ОДЗ ищут до сокращения: потом искать будет негде — знаменатель исчезнет вместе с ним.

Проверяется упрощение подстановкой: одно и то же число в исходное выражение и в ответ обязано дать одно и то же значение.

Действия и ошибки

Правый столбец — не теория, а то, что реально пишут в тетрадях.

ДЕЙСТВИЕ	ПРАВИЛО	ЧАСТАЯ ОШИБКА
Раскрыть скобки	$a (b + c) = a b + a c$	умножают только на первое слагаемое
Минус перед скобкой	$- (a - b) = - a + b$	меняют знак только у первого
Привести подобные	$3 x + 2 x = 5 x$	складывают 3x и 2x², получая 5x³
Общий знаменатель	$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$	домножают знаменатель, а числитель забывают
Сократить дробь	$\frac{a c}{b c} = \frac{a}{b}$	сокращают слагаемые вместо множителей

Формулы сокращённого умножения

Отдельная группа приёмов, которая экономит раскрытие скобок вручную — если выражение узнать по виду, ответ пишется сразу, без промежуточных действий.

НАЗВАНИЕ	ФОРМУЛА
Квадрат суммы	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
Квадрат разности	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
Разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
Сумма кубов	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$
Разность кубов	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

Каждая формула работает в обе стороны: слева направо — раскрыть скобки, справа налево — разложить на множители. Выражение x² − 9 быстрее увидеть как разность квадратов (x − 3)(x + 3), чем решать через него уравнение или подбирать корни.

Примеры расчёта

Скобки с минусом впереди

3 (2 x - 1) - 2 (3 x - 4)

Раскрываем скобки

$6 x - 3 + 8 - 6 x$

Каждое слагаемое из скобки умножается на множитель перед ней. Если перед скобкой минус, знаки меняются у всех слагаемых внутри, а не только у первого — на этом теряют больше всего баллов.
Приводим подобные

$5$

Складываются только подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями. Складываются при этом коэффициенты, а степень остаётся прежней: 3x + 2x = 5x, но 3x + 2x² не сворачивается.
Проверяем подстановкой

$при x = 2 : 5 = 5$

Подставим одно и то же число в исходное выражение и в ответ — получилось одно и то же значение. Доказательством это не является, но потерянный знак или лишнюю двойку одна подстановка ловит почти всегда.

5

Получилось число: переменная ушла полностью. Всё держится на знаках второй скобки — минус меняет их у обоих слагаемых, и −2 · (−4) даёт +8. Забытый знак превращает ответ 5 в −11.

Сокращение, после которого ответ неполон

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

Находим область допустимых значений

$x \neq 2$

ОДЗ определяется по исходному выражению, до всяких преобразований. Знаменатель не может быть нулём, а под корнем чётной степени не может быть отрицательного числа.
Сокращаем дробь

$x + 2$

Числитель и знаменатель разложены на множители, общий множитель сокращён. Сокращать можно только множители: в (x + 2)/(x + 3) никакой x не сокращается, он там слагаемое.
Проверяем подстановкой

$при x = 3 : 5 = 5$

Подставим одно и то же число в исходное выражение и в ответ — получилось одно и то же значение. Доказательством это не является, но потерянный знак или лишнюю двойку одна подстановка ловит почти всегда.

x + 2

Ограничение придётся дописать к ответу вручную: преобразование убрало из записи то, что его порождало, но выброшенные точки обратно не вернуло. Без ограничения это уже другая функция, и в контрольной такой ответ считается неполным.

Ответ x + 2 верен только с оговоркой x ≠ 2: исходная дробь в двойке не существует, а x + 2 там даёт 4. Ограничение берут из знаменателя до сокращения — потом его взять будет неоткуда.

Сумма дробей с разными знаменателями

\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}

Находим область допустимых значений

$x \neq 0, x \neq 1$

ОДЗ определяется по исходному выражению, до всяких преобразований. Знаменатель не может быть нулём, а под корнем чётной степени не может быть отрицательного числа.
Приводим к общему знаменателю

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$

Дроби складываются только с одинаковым знаменателем. Числитель каждой домножается на недостающий множитель — на тот же, на какой домножили её знаменатель, иначе дробь изменится.
Проверяем подстановкой

$при x = 2 : \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Подставим одно и то же число в исходное выражение и в ответ — получилось одно и то же значение. Доказательством это не является, но потерянный знак или лишнюю двойку одна подстановка ловит почти всегда.

\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}

Каждая дробь домножается на недостающий множитель — числитель вместе со знаменателем. Сократить результат нельзя: в 2x − 1 буква x стоит слагаемым.

Вопросы

Зачем писать x ≠ 2, если знаменателя в ответе уже нет?

Без оговорки ответ описывает другую функцию. Сокращение выбросило точку x = 2 из области определения, но обратно её не вернуло, поэтому ограничение записывают вместе с ответом.

Можно ли сократить (x + 2) / (x + 3) на x?

Нет: сокращают только множители, а x здесь слагаемое. Проверяется подстановкой — при x = 1 дробь равна 3/4, а «сокращённое» 2/3 совсем другое число.

Какие слагаемые считаются подобными?

Те, у которых совпадает буквенная часть вместе со степенями. 3x и −7x подобны, 3x и 2x² — нет. Складываются только коэффициенты: 3x + 2x = 5x, а не 5x².

Чем упрощение отличается от разложения на множители?

Задачи противоположны. Ответ на «упрости (x + 1)²» — это x² + 2x + 1, а на «разложи x² + 2x + 1» — это (x + 1)². Калькуляторы для них тоже разные.

Откуда в ответе взялся модуль?

Из корня чётной степени: √(x²) равно |x|, а не x. При отрицательном x запись без модуля дала бы отрицательный результат у арифметического корня.

Калькулятор пишет, что выражение уже в простейшем виде. Это ошибка?

Нет. Если скобок нет, подобных слагаемых нет и дробь не сокращается, упрощать нечего — 2x/(x² + 1) именно такое. ОДЗ при этом всё равно показывается: от упрощения оно не зависит.

Почему в формуле суммы кубов a² − ab + b², а не (a + b)²?

Это разные выражения, и совпадать они не обязаны. (a + b)² = a² + 2ab + b², а множитель a² − ab + b² в формуле суммы кубов называют неполным квадратом суммы: тот же набор степеней, но без коэффициента 2 у среднего слагаемого и со знаком минус.

Упрощение выражений

Калькулятор

Как это считается

Действия и ошибки

Формулы сокращённого умножения

Примеры расчёта

Скобки с минусом впереди

Раскрываем скобки

Приводим подобные

Проверяем подстановкой

Сокращение, после которого ответ неполон

Находим область допустимых значений

Сокращаем дробь

Проверяем подстановкой

Сумма дробей с разными знаменателями

Находим область допустимых значений

Приводим к общему знаменателю

Проверяем подстановкой

Вопросы

Похожие калькуляторы