Умножение матриц

Каждый элемент расписывается как строка на столбец. Согласованность размеров видна ещё до расчёта, а произведение в обратном порядке считается для сравнения.

МАТРИЦА A · 2×3

МАТРИЦА B · 3×2

Размеры согласованы: 2×3 · 3×2 даст 2×2. В клетках можно писать дроби и корни.

Как это считается

Элемент на пересечении строки i и столбца j — это сумма попарных произведений строки i первой матрицы на столбец j второй.

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}

Отсюда и условие: столбцов у первой матрицы должно быть столько же, сколько строк у второй, — иначе пары не составятся. Внутренние размеры сокращаются, внешние дают размер результата.

AB и BA — разные матрицы. Умножение матриц не переместительно, и это не мелкая оговорка: у прямоугольных матриц BA часто вообще не существует, а если существует, то бывает другого размера. Переставлять сомножители местами нельзя ни при каких упрощениях.

С этим связано и второе непривычное свойство: произведение двух ненулевых матриц может оказаться нулевым. Поэтому сокращать матричное равенство на общий множитель тоже нельзя — у чисел такое правило работает, у матриц нет.

Сложение и умножение на число

Прежде чем умножать матрицу на матрицу, полезно увидеть два действия проще. У них нет условия на внутренние размеры — только требование, чтобы складываемые матрицы были одного размера.

(A + B)_{i j} = a_{i j} + b_{i j}, (c A)_{i j} = c a_{i j}

Складывают элемент с элементом на той же строке и в том же столбце, вычитание устроено так же, со знаком минус. Умножение на число — на него умножается каждый элемент, размер при этом не меняется.

Это совсем другое действие, чем умножение матрицы на матрицу: там строка умножается на столбец и складывается в одно число, а здесь каждое место работает само по себе.

Примеры расчёта

Прямоугольные матрицы: внутренние размеры сокращаются

[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] \cdot [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]

Проверяем согласованность

$(2 \times 3) \cdot (3 \times 2) = (2 \times 2)$

Число столбцов первой матрицы обязано совпасть с числом строк второй — иначе строку не на что умножать. Внутренние размеры сокращаются, внешние и дают размер результата.
Считаем элемент первой строки и первого столбца

$c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 4$

Элемент на пересечении строки i и столбца j — это сумма попарных произведений строки i первой матрицы на столбец j второй. Складывать надо все слагаемые: их столько, сколько столбцов у первой матрицы.
Считаем остальные элементы

$\begin{array}{c} c_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 \\ c_{21} = 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 10 \\ c_{22} = 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = 11 \end{array}$

Остальные клетки считаются так же: строка на столбец. Индексы не переставляются — первый номер всегда строка первой матрицы, второй всегда столбец второй.
Собираем результат

$A B = [\begin{array}{cc} 4 & 5 \\ 10 & 11 \end{array}]$

Размер 2 × 2 — как и обещала проверка согласованности. Если он получился другим, где-то перепутаны строка со столбцом.
Проверяем перестановку

$B A = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{array}]$

Умножение матриц не переместительно: AB и BA — разные матрицы, а часто и разного размера. Здесь произведения различаются — записывать AB вместо BA нельзя.

[\begin{array}{cc} 4 & 5 \\ 10 & 11 \end{array}]

Размер 2×3 на 3×2 даёт 2×2. Внутренние тройки обязаны совпасть — они и сокращаются, оставляя внешние двойки. Произведение BA здесь тоже существует, но оно уже 3×3: даже размер у AB и BA бывает разным.

Нулевое произведение ненулевых матриц

[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}]

Проверяем согласованность

$(2 \times 2) \cdot (2 \times 2) = (2 \times 2)$

Число столбцов первой матрицы обязано совпасть с числом строк второй — иначе строку не на что умножать. Внутренние размеры сокращаются, внешние и дают размер результата.
Считаем элемент первой строки и первого столбца

$c_{11} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$

Элемент на пересечении строки i и столбца j — это сумма попарных произведений строки i первой матрицы на столбец j второй. Складывать надо все слагаемые: их столько, сколько столбцов у первой матрицы.
Считаем остальные элементы

$\begin{array}{c} c_{12} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0 \\ c_{21} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0 \\ c_{22} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0 \end{array}$

Остальные клетки считаются так же: строка на столбец. Индексы не переставляются — первый номер всегда строка первой матрицы, второй всегда столбец второй.
Собираем результат

$A B = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Размер 2 × 2 — как и обещала проверка согласованности. Если он получился другим, где-то перепутаны строка со столбцом.
Проверяем перестановку

$B A = [\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Умножение матриц не переместительно: AB и BA — разные матрицы, а часто и разного размера. Здесь произведения различаются — записывать AB вместо BA нельзя.

[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]

Произведение нулевое, хотя ни одна из матриц не нулевая. У чисел так не бывает, у матриц бывает: из AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0.

У чисел из ab = 0 следует, что один из множителей ноль. У матриц не следует: обе ненулевые, а произведение нулевое. Сокращать матричные равенства на общий множитель поэтому нельзя.

Вопросы

Когда матрицы вообще можно перемножить?

Когда столбцов у первой столько же, сколько строк у второй. Иначе строку не на что умножать: в сумме произведений не хватит пар. Внутренние размеры сокращаются, внешние дают размер результата.

Правда ли, что AB и BA — разное?

Да, и это главное отличие матриц от чисел. Произведения обычно не совпадают, а нередко BA вообще не существует: у прямоугольных матриц размеры не сходятся. Матрицы, для которых AB = BA, называют перестановочными — это исключение.

Почему нельзя умножать поэлементно?

Потому что умножение матриц — это композиция преобразований, а не арифметика по клеткам. Поэлементное произведение тоже существует и называется адамаровым, но в линейной алгебре под AB понимают именно строку на столбец.

Произведение вышло нулевым, хотя матрицы не нулевые. Ошибка?

Нет. У матриц из AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 — такие делители нуля существуют. Отсюда же правило: сокращать матричное равенство на общий множитель нельзя.

Что делает единичная матрица?

Ничего не меняет: AE = EA = A. Она играет роль единицы, и именно через неё определяется обратная матрица — та, что в произведении с исходной даёт E.

Как проверить себя?

Сначала размером: он обязан быть m × p, где m — строки первой, p — столбцы второй. Потом одним элементом наугад: пересчитать строку на столбец руками. Обе проверки быстрые и ловят почти любую ошибку.

Можно ли сложить матрицы разных размеров?

Нет, и здесь условие строже, чем при умножении. Для умножения хватает совпадения внутренних размеров, а для сложения нужно, чтобы у обеих матриц строк и столбцов было поровну — иначе элементу с одной стороны не с чем сложиться.

Умножение матриц

Калькулятор

Как это считается

Сложение и умножение на число

Примеры расчёта

Прямоугольные матрицы: внутренние размеры сокращаются

Проверяем согласованность

Считаем элемент первой строки и первого столбца

Считаем остальные элементы

Собираем результат

Проверяем перестановку