Векторы

Длина, сумма и разность, скалярное и векторное произведение, угол. Координаты вводятся строкой — как записаны в задаче.

Вектор a Координаты через пробел или точку с запятой. Понимаются дроби и корни: 1/2, sqrt(3)

Как это считается

Вектор задаётся координатами, и почти всё с ним делается покоординатно. Длина — теорема Пифагора: координаты это катеты, вектор — гипотенуза.

∣ \vec{a} ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

Скалярное произведение — число, векторное — вектор. Разница не в названии: результаты разной природы, и записывать скалярное произведение стрелкой нельзя. Векторное к тому же существует только в пространстве.

Вектор по двум точкам — конец минус начало. Перепутанный порядок даёт противоположный вектор, а длина у него та же, поэтому по модулю ошибку не поймать.

Умножение на число тоже покоординатное: длина меняется во столько же раз, а при отрицательном множителе вектор разворачивается в противоположную сторону.

Формулы рядом

Правый столбец стоит перечитать: частая ошибка — число там, где должен быть вектор.

ЧТО	ФОРМУЛА	РЕЗУЛЬТАТ
Длина	$∣ \vec{a} ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$	число
Сумма	$\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$	вектор
Скалярное произведение	$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$	число
Косинус угла	$\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{∣ \vec{a} ∣ ∣ \vec{b} ∣}$	число
Векторное произведение	$\vec{a} \times \vec{b} = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}; z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}; x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2})$	вектор

Примеры расчёта

Угол: длина, скалярное произведение и косинус

\vec{a} = (3; 4), \vec{b} = (5; 0), φ = ?

Считаем скалярное произведение

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 0 = 15$

Одноимённые координаты перемножаются, результаты складываются. Скалярное произведение — это число, а не вектор: складывать его с векторами и рисовать стрелкой нельзя.
Считаем длину вектора a

$∣ \vec{a} ∣ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Длина — корень из суммы квадратов координат. Это теорема Пифагора: координаты и есть катеты, вектор — гипотенуза. Знак координаты на длину не влияет, потому что она возводится в квадрат.
Считаем длину вектора b

$∣ \vec{b} ∣ = \sqrt{5^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Длина — корень из суммы квадратов координат. Это теорема Пифагора: координаты и есть катеты, вектор — гипотенуза. Знак координаты на длину не влияет, потому что она возводится в квадрат.
Находим косинус угла

$\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{∣ \vec{a} ∣ ∣ \vec{b} ∣} = \frac{15}{5 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

Скалярное произведение делится на произведение длин. Знак косинуса сразу говорит о типе угла: положительный — острый, отрицательный — тупой, ноль — прямой.
Переводим в градусы

$φ = \arccos (\frac{3}{5}) = {53,130}^{\circ}$

Точного выражения в градусах у этого угла нет, поэтому значение приближённое. В ответе задачи рядом с ним оставляют и сам косинус.

φ \approx {53,130}^{\circ}, \cos φ = \frac{3}{5}

Косинус 3/5 — это и есть ответ задачи. Градусы приближённые, и так оказывается почти всегда: круглый угол получается только у специально подобранных векторов. Знак косинуса положительный, значит угол острый, — это видно было ещё по скалярному произведению, до всякого деления.

Длина: когда ответ — корень

\vec{a} = (2; 2), ∣ \vec{a} ∣ = ?

Считаем длину вектора a

$∣ \vec{a} ∣ = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \approx 2,8284$

Длина — корень из суммы квадратов координат. Это теорема Пифагора: координаты и есть катеты, вектор — гипотенуза. Знак координаты на длину не влияет, потому что она возводится в квадрат.

∣ \vec{a} ∣ = 2 \sqrt{2} \approx 2,8284

2√2 и есть ответ. Записав 2,83, ты его округлил — в задачнике стоит корень, и расхождение засчитают как ошибку. Приближение рядом нужно только чтобы прикинуть величину.

Вопросы

Как найти вектор по двум точкам?

Из координат конца вычесть координаты начала: AB = (x_B − x_A; y_B − y_A). Перепутанный порядок даёт противоположный вектор — и заметить это по длине нельзя, она одинаковая.

Чем скалярное произведение отличается от векторного?

Скалярное даёт число, векторное — вектор. Скалярное есть и на плоскости, и в пространстве; векторное определено только в пространстве и перпендикулярно обоим исходным векторам.

Как проверить перпендикулярность?

Посчитать скалярное произведение. У ненулевых векторов оно равно нулю только при прямом угле, так что считать сам угол не нужно. Для нулевого вектора признак не работает: у него нет направления.

Почему в ответе корень, а не десятичное число?

Потому что корень и есть точный ответ. Длина вектора (2; 2) равна 2√2; запись 2,83 округлена, и в задачнике такой ответ не совпадёт с эталонным.

Как сложить больше двух векторов сразу?

Тем же правилом треугольника, применённым по цепочке — это и называют правилом многоугольника. Конец первого вектора становится началом второго, конец второго — началом третьего, и так далее; итоговый вектор соединяет начало самого первого с концом самого последнего. По координатам ещё проще: складывают все x, все y и все z отдельно, сколько бы векторов ни было.

Как понять, что векторы коллинеарны?

Их координаты пропорциональны, а векторное произведение равно нулю. Второй способ надёжнее: пропорцию приходится проверять с оглядкой на нулевые координаты, а нулевой вектор в ответе виден сразу.

Что значит знак скалярного произведения?

Он повторяет знак косинуса: положительное — угол острый, отрицательное — тупой, ноль — прямой. Тип угла виден до вычисления самого угла.

Векторы

Калькулятор

Как это считается

Формулы рядом

Примеры расчёта

Угол: длина, скалярное произведение и косинус

Считаем скалярное произведение

Считаем длину вектора a

Считаем длину вектора b

Находим косинус угла

Переводим в градусы

Длина: когда ответ — корень

Считаем длину вектора a

Вопросы

Похожие калькуляторы