Арифметическая прогрессия

Q: Почему в формуле n − 1, а не n?

От начального члена до n-го ведёт на один шаг меньше, чем номер: до второго — один шаг, до десятого — на один меньше номера. Если прибавить разность десять раз, результат окажется правдоподобным, но неточным, и заметить это в ответе не получится.

Q: Как найти разность, если её не дали?

По двум известным членам: d = (aₙ − a₁)/(n − 1). Например, если начальный член равен 7, а тринадцатый 43, то между ними двенадцать шагов и d = 36/12 = 3. Заполни поле «известный член» — разность определится сама.

Q: Что такое числовая последовательность и чем прогрессия от неё отличается?

Последовательность — это просто пронумерованный набор чисел. Прогрессия — частный случай, где каждый член получается из предыдущего одним и тем же действием. У арифметической это прибавление постоянной разности.

Q: Прогрессия всегда возрастающая?

Нет. Знак задаёт разность: при d > 0 последовательность возрастающая, при d < 0 убывающая, при d = 0 все члены одинаковы. Задачи с отрицательной разностью встречаются на экзамене не реже.

Q: Как проверить, что последовательность — арифметическая прогрессия?

Через характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних. Если равенство выполняется для любой тройки подряд идущих чисел — это прогрессия.

Q: Зачем две записи для сложения членов?

Это одна формула с подстановкой. Когда последний член известен, короче взять полусумму крайних. Когда дана только разность, aₙ заменяют на a₁ + (n − 1)d — получается второй вид записи. Выбирают по тому, что дано в условии.

Найдём n-й член и общую сумму. Разность можно не задавать — определим её по любому известному члену.

Первый член a₁ дроби понимаются: 1/2 Разность d на сколько каждый следующий член больше предыдущего Номер члена n какой член и сумму скольких искать Известный член aₙ если разность не дан — найдём его отсюда

Определение

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью и обозначается буквой d.

Например, последовательность 3, 8, 13, 18, 23 — арифметическая прогрессия с разностью 5. Каждую следующую величину получают из предыдущей одним действием, и правило не меняется на всём протяжении.

Знак разности задаёт поведение. При d > 0 прогрессия возрастающая, при d < 0 убывающая, при d = 0 все члены равны между собой. Отрицательная разность — не исключение из правила, а обычный случай, и в школе такие задачи разбирают наравне с остальными.

Формула n-го члена

Чтобы найти любой член арифметической прогрессии, не нужно выписывать всю последовательность до него. Достаточно знать первый член и разность:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Здесь стоит n − 1, и это не опечатка. От начального члена до n-го ведёт на один шаг меньше, чем говорит номер: до десятого члена — на один шаг меньше. Один добавочный шаг даёт похожее на правду число, и ошибку в нём не видно.

Если разность в условии не дали, её находят по двум известным членам. Между крайними членами укладывается n − 1 шаг, поэтому:

d = \frac{a_{n} - a_{1}}{n - 1}

Дальше задача решается как обычная: разность известна, и любой член арифметической прогрессии находят по основной формуле.

Сумма членов

Складывать члены подряд не нужно. Если взять их с двух концов попарно, каждая пара даст одинаковый результат — отсюда короткая запись через полусумму крайних членов:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n

Когда последний член ещё неизвестен, но известна разность, его подставляют прямо в формулу — a₁ + (n − 1)d вместо aₙ:

S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2} n

Это не вторая формула, а та же самая с одной подстановкой. Выбирают по тому, что уже известно из условия задачи.

Характеристическое свойство

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}

Это свойство работает в обе стороны. Если для каждой тройки подряд идущих чисел равенство выполняется — перед вами арифметическая прогрессия. Так проверяют последовательность, когда в условии её тип не назван.

Отсюда и название: каждый член равен среднему арифметическому соседей. У геометрической прогрессии устроено так же, но через среднее геометрическое — об этом на отдельной странице.

Формулы рядом

Шесть формул закрывают почти любое школьное задание на эту тему. Правая колонка подсказывает, какую брать.

ЧТО ИЩЕМ	ФОРМУЛА	КОГДА ПРИМЕНЯТЬ
n-й член	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	известны первый член и разность
Разность	$d = a_{n} - a_{n - 1}$	известны два соседних члена
Разность по двум членам	$d = \frac{a_{n} - a_{1}}{n - 1}$	известны первый и любой другой член
Сложение n членов	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n$	известен последний член
То же через разность	$S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2} n$	последний член неизвестен
Характеристическое свойство	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	нужно проверить, прогрессия ли это

Где встречается

Тема входит в курс алгебры 9 класса и попадается на ОГЭ и ЕГЭ. Но арифметическая прогрессия описывает и вполне бытовые вещи:

План тренировок: на старте вы пробежали три километра, а каждую следующую неделю увеличиваете дистанцию на 500 метров.
Накопления с постоянным пополнением: каждый месяц на счёт добавляется одна и та же величина.
Ряды в зрительном зале, где в каждом следующем ряду на одинаковое количество мест больше.
Стихотворный размер: в хорее ударения падают на нечётные слоги 1, 3, 5, 7 — это тоже арифметическая прогрессия с разностью 2.

Общее у всех примеров одно: постоянный шаг. Как только величина прироста меняется от шага к шагу, последовательность перестаёт быть арифметической прогрессией.

Примеры расчёта

n-й член: частая ошибка в номере

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, a_{1} = 3, d = 5, n = 10

Выписываем начало прогрессии

$3, 8, 13, 18, 23, \dots$

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением 5. Полезно выписать начало ряда и убедиться, что прогрессия та самая.
Находим n-й член

$a_{10} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 9 \cdot 5 = 48$

К первому члену прибавляем разность 9 раз — именно столько шагов отделяет его от искомого. Умножение на n вместо n − 1 — самая частая ошибка в этой формуле.
Складываем члены

$S_{10} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{3 + 48}{2} \cdot 10 = 255$

Берём среднее арифметическое крайних членов и умножаем на их количество. Работает потому, что при сложении с конца пары дают одинаковый результат.

a_{10} = 48, S_{10} = 255

Разность прибавляется на один раз меньше, чем говорит номер: до десятого члена ровно столько шагов, сколько на единицу меньше. Взяв 3 + 10·5, получишь 53 — результат выглядит нормально, и ошибку в нём не видно.

Разность по двум известным членам

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, a_{1} = 7, n = 13

Выписываем начало прогрессии

$7, 10, 13, 16, 19, \dots$

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением 3. Полезно выписать начало ряда и убедиться, что прогрессия та самая.
Находим разность

$d = \frac{a_{n} - a_{1}}{n - 1} = \frac{43 - 7}{12} = 3$

Разность выводится из формулы n-го члена. В знаменателе стоит n − 1, а не n: между крайними членами на один шаг меньше, чем говорит номер.
Находим n-й член

$a_{13} = a_{1} + (n - 1) d = 7 + 12 \cdot 3 = 43$

К первому члену прибавляем разность 12 раз — именно столько шагов отделяет его от искомого. Умножение на n вместо n − 1 — самая частая ошибка в этой формуле.
Складываем члены

$S_{13} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{7 + 43}{2} \cdot 13 = 325$

Берём среднее арифметическое крайних членов и умножаем на их количество. Работает потому, что при сложении с конца пары дают одинаковый результат.

a_{13} = 43, S_{13} = 325

Разность не дали, но известны начальный и тринадцатый члены. Между ними двенадцать шагов, значит d = (43 − 7)/12 = 3. Дальше задача решается как обычная: свойство арифметической прогрессии позволяет найти любой член.

Сложение двадцати членов

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, a_{1} = 2, d = 3, n = 20

Выписываем начало прогрессии

$2, 5, 8, 11, 14, \dots$

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением 3. Полезно выписать начало ряда и убедиться, что прогрессия та самая.
Находим n-й член

$a_{20} = a_{1} + (n - 1) d = 2 + 19 \cdot 3 = 59$

К первому члену прибавляем разность 19 раз — именно столько шагов отделяет его от искомого. Умножение на n вместо n − 1 — самая частая ошибка в этой формуле.
Складываем члены

$S_{20} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{2 + 59}{2} \cdot 20 = 610$

Берём среднее арифметическое крайних членов и умножаем на их количество. Работает потому, что при сложении с конца пары дают одинаковый результат.

a_{20} = 59, S_{20} = 610

Складывать двадцать чисел подряд не нужно. Пары с двух концов дают одинаковый результат, поэтому достаточно среднего крайних членов, умноженного на количество. Так эту задачу и решают на экзамене.

Вопросы

Почему в формуле n − 1, а не n?

От начального члена до n-го ведёт на один шаг меньше, чем номер: до второго — один шаг, до десятого — на один меньше номера. Если прибавить разность десять раз, результат окажется правдоподобным, но неточным, и заметить это в ответе не получится.

Как найти разность, если её не дали?

По двум известным членам: d = (aₙ − a₁)/(n − 1). Например, если начальный член равен 7, а тринадцатый 43, то между ними двенадцать шагов и d = 36/12 = 3. Заполни поле «известный член» — разность определится сама.

Что такое числовая последовательность и чем прогрессия от неё отличается?

Последовательность — это просто пронумерованный набор чисел. Прогрессия — частный случай, где каждый член получается из предыдущего одним и тем же действием. У арифметической это прибавление постоянной разности.

Прогрессия всегда возрастающая?

Нет. Знак задаёт разность: при d > 0 последовательность возрастающая, при d < 0 убывающая, при d = 0 все члены одинаковы. Задачи с отрицательной разностью встречаются на экзамене не реже.

Как проверить, что последовательность — арифметическая прогрессия?

Через характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних. Если равенство выполняется для любой тройки подряд идущих чисел — это прогрессия.

Зачем две записи для сложения членов?

Это одна формула с подстановкой. Когда последний член известен, короче взять полусумму крайних. Когда дана только разность, aₙ заменяют на a₁ + (n − 1)d — получается второй вид записи. Выбирают по тому, что дано в условии.

Арифметическая прогрессия

Калькулятор

Определение

Формула n-го члена

Сумма членов

Характеристическое свойство

Формулы рядом

Где встречается

Примеры расчёта

n-й член: частая ошибка в номере

Выписываем начало прогрессии

Находим n-й член

Складываем члены

Разность по двум известным членам

Выписываем начало прогрессии

Находим разность

Находим n-й член

Складываем члены

Сложение двадцати членов

Выписываем начало прогрессии

Находим n-й член

Складываем члены

Вопросы

Похожие калькуляторы