Прогрессии

Q: Почему в формуле n − 1, а не n?

От первого члена до n-го делается на один шаг меньше, чем номер: до второго — один шаг, до десятого — девять. Лишняя единица даёт правдоподобное неверное число.

Q: Как найти разность, если её не дали?

По двум членам: d = (aₙ − a₁)/(n − 1). У геометрической так же, но через корень степени n − 1 из отношения aₙ к a₁. Заполни поле «известный член» — посчитаем сами.

Q: Почему знаменателей получилось два?

При чётной степени корня значений два — плюс и минус. Обе прогрессии подходят под условие, только у второй знаки чередуются. Терять второй ответ нельзя.

Q: Что не так с формулой суммы при q = 1?

Она делит на q − 1, то есть на ноль. Но при q = 1 все члены одинаковы, и сумма считается устно: первый член, умноженный на их количество. Это отдельный случай, а не ошибка в формуле.

Q: Как сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечной?

Если члены убывают быстро. При |q| < 1 каждый следующий заметно меньше предыдущего, и сумма приближается к a₁/(1 − q), никогда его не превышая. При |q| ≥ 1 такого не происходит, и суммы не существует.

Q: Почему ответ дробью, а не десятичным числом?

Потому что дробь и есть точный ответ. Сумма шести членов прогрессии с q = 1/2 равна ровно 189/32; десятичная запись 5,90625 длиннее, а округлённая 5,91 просто неверна.

Два вида прогрессий устроены одинаково — меняется только действие. Разберём отличия и отправим к нужному расчёту.

Первый член a₁ дроби понимаются: 1/2 Разность d на сколько каждый следующий член больше предыдущего Номер члена n какой член и сумму скольких искать Известный член aₙ если разность не дан — найдём его отсюда

Две прогрессии

Калькулятор выше считает обе. Если нужна теория, формулы и разбор задач по конкретному виду — они собраны на отдельных страницах.

Арифметическая прогрессия К каждому члену прибавляют разность d К калькулятору → Геометрическая прогрессия Каждый член умножают на знаменатель q К калькулятору →

Как это считается

Прогрессия — последовательность, где каждый следующий член получается из предыдущего одним и тем же действием. В арифметической к нему прибавляют разность d, в геометрической умножают на знаменатель q. Отсюда обе формулы n-го члена:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

В обеих стоит n − 1, и это не опечатка. От первого члена до n-го делается на один шаг меньше, чем говорит номер: до десятого члена — девять прибавлений. Лишняя единица даёт похожее на правду число, и ошибку в нём не увидеть.

Сумма арифметической — среднее крайних членов, умноженное на их количество: при сложении с двух концов пары дают одинаковые суммы.

Если последний член aₙ ещё не известен, но известна разность d, его подставляют прямо в формулу суммы — a₁ + (n − 1)d вместо aₙ:

S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2} n

Это не вторая формула, а та же самая с одной подстановкой. Выбирают по тому, что уже известно из условия: если дан последний член — короткий вариант, если только первый член и разность — этот.

Формулы рядом

Формулы двух прогрессий устроены одинаково — меняется только действие.

	АРИФМЕТИЧЕСКАЯ	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
n-й член	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$
Сумма n членов	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n$	$S_{n} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$
Характеристическое свойство	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	$a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$

Последняя строка — способ проверить, что последовательность вообще прогрессия: у арифметической каждый член равен среднему арифметическому соседей, у геометрической — среднему геометрическому. Отсюда и названия.

Примеры расчёта

Арифметическая: прибавляем разность

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, a_{1} = 3, d = 5, n = 10

Выписываем начало прогрессии

$3, 8, 13, 18, 23, \dots$

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением 5. Полезно выписать начало ряда и убедиться, что прогрессия та самая.
Находим n-й член

$a_{10} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 9 \cdot 5 = 48$

К первому члену прибавляем разность 9 раз — именно столько шагов отделяет его от искомого. Умножение на n вместо n − 1 — самая частая ошибка в этой формуле.
Складываем члены

$S_{10} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{3 + 48}{2} \cdot 10 = 255$

Берём среднее арифметическое крайних членов и умножаем на их количество. Работает потому, что при сложении с конца пары дают одинаковый результат.

a_{10} = 48, S_{10} = 255

Шаг здесь один и тот же — плюс пять. Это и отличает арифметическую прогрессию: величина прироста не меняется от члена к члену. Подробный разбор формул и задач — на странице арифметической прогрессии.

Геометрическая: умножаем на знаменатель

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}, a_{1} = 3, q = 2, n = 6

Выписываем начало прогрессии

$3, 6, 12, 24, 48, \dots$

Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2. Полезно выписать начало ряда и убедиться, что прогрессия та самая.
Считаем n-й член

$a_{6} = a_{1} q^{n - 1} = 3 \cdot 2^{5} = 96$

Первый член умножается на знаменатель 5 раз. Показатель на единицу меньше номера — у первого члена множителей ещё нет.
Считаем сумму

$S_{6} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1} = \frac{3 (2^{6} - 1)}{2 - 1} = 189$

Формулу удобно применять в этом виде при q > 1. При q < 1 её часто переписывают как a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) — это то же самое, только оба знака перевёрнуты, чтобы не работать с отрицательными.

a_{6} = 96, S_{6} = 189

Здесь каждый следующий член вдвое больше предыдущего — действие тоже постоянное, но это умножение, а не сложение. Отсюда и разница в скорости: геометрическая обгоняет арифметическую уже на первом десятке.

Вопросы

Почему в формуле n − 1, а не n?

От первого члена до n-го делается на один шаг меньше, чем номер: до второго — один шаг, до десятого — девять. Лишняя единица даёт правдоподобное неверное число.

Как найти разность, если её не дали?

По двум членам: d = (aₙ − a₁)/(n − 1). У геометрической так же, но через корень степени n − 1 из отношения aₙ к a₁. Заполни поле «известный член» — посчитаем сами.

Почему знаменателей получилось два?

При чётной степени корня значений два — плюс и минус. Обе прогрессии подходят под условие, только у второй знаки чередуются. Терять второй ответ нельзя.

Что не так с формулой суммы при q = 1?

Она делит на q − 1, то есть на ноль. Но при q = 1 все члены одинаковы, и сумма считается устно: первый член, умноженный на их количество. Это отдельный случай, а не ошибка в формуле.

Как сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечной?

Если члены убывают быстро. При |q| < 1 каждый следующий заметно меньше предыдущего, и сумма приближается к a₁/(1 − q), никогда его не превышая. При |q| ≥ 1 такого не происходит, и суммы не существует.

Почему ответ дробью, а не десятичным числом?

Потому что дробь и есть точный ответ. Сумма шести членов прогрессии с q = 1/2 равна ровно 189/32; десятичная запись 5,90625 длиннее, а округлённая 5,91 просто неверна.

Прогрессии

Калькулятор

Две прогрессии

Как это считается

Формулы рядом

Примеры расчёта

Арифметическая: прибавляем разность

Выписываем начало прогрессии

Находим n-й член

Складываем члены

Геометрическая: умножаем на знаменатель

Выписываем начало прогрессии

Считаем n-й член

Считаем сумму

Вопросы

Похожие калькуляторы