Геометрическая прогрессия

Q: Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да. При q < 0 знаки членов чередуются: 3, −6, 12, −24. Формулы при этом работают без изменений, а вот сумма бесконечной прогрессии существует, только если |q| < 1 — знак роли не играет, важен модуль.

Q: Почему знаменателей иногда получается два?

Когда его ищут по двум членам через корень чётной степени, значений два — со знаком плюс и минус. Обе прогрессии подходят под условие, просто у второй знаки чередуются. Терять второй ответ нельзя.

Q: Что не так с формулой суммы при q = 1?

Она делит на q − 1, то есть на ноль. Но при q = 1 все члены одинаковы, и результат находится устно: первый член, умноженный на их количество. Это отдельный случай, а не ошибка в формуле.

Q: Как сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечной?

Если члены уменьшаются достаточно быстро. При |q| < 1 каждый следующий заметно меньше предыдущего, и результат приближается к b₁/(1 − q), никогда его не превышая. При |q| ≥ 1 такого не происходит.

Q: Почему ответ дробью, а не десятичным числом?

Потому что дробь и есть точное значение. Шесть членов с q = 1/2 в сумме дают ровно 189/32; десятичная запись 5,90625 длиннее, а 5,91 уже неточно. Округление здесь только портит верный ответ.

Найдём n-й член и сумму геометрической прогрессии, в том числе бесконечно убывающей. Знаменатель можно не задавать — определим его по известному члену, как в школьных задачах.

Первый член a₁ дроби понимаются: 1/2 Разность d на сколько каждый следующий член больше предыдущего Номер члена n какой член и сумму скольких искать Известный член aₙ если разность не дан — найдём его отсюда

Определение

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем и обозначается буквой q.

Например, 3, 6, 12, 24, 48 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Задачи на геометрическую прогрессию в 9 классе почти всегда начинаются с такой записи. Ни один член не равен нулю: рассмотрим, что иначе — всё дальнейшее тоже обратится в ноль.

Геометрическая прогрессия задаётся двумя числами: начальным членом и знаменателем. Этого достаточно, чтобы восстановить всю последовательность и решить любую задачу на геометрическую прогрессию — найти нужный член, сумму или проверить, подходит ли данная функция под определение. Показательная функция и геометрическая прогрессия связаны напрямую: прогрессия — это её значения в целых точках. Ни начальный член, ни знаменатель не могут равняться нулю: иначе последовательность вырождается и перестаёт быть прогрессией.

Знаменатель задаёт характер роста. При q > 1 члены растут быстро; при 0 < q < 1 уменьшаются; при отрицательном q знаки чередуются. Поэтому геометрический рост называют взрывным — он обгоняет равномерный уже на первых десятках шагов.

Формула n-го члена

Чтобы добраться до любого члена, не нужно перемножать всю цепочку. Достаточно знать первый член и знаменатель:

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

Показатель на один меньше номера — у начального члена множителей ещё нет, у десятого их девять. Возведение в степень n вместо n − 1 — самая частая ошибка в этой теме.

Если знаменатель не дан, его находят делением любого члена на предыдущий. Это отношение для прогрессии постоянно, и проверить его можно по любой паре соседей:

q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}

Сумма членов

Складывать члены по одному не нужно — есть готовая формула:

S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

При q < 1 ту же формулу часто записывают как b₁(1 − qⁿ)/(1 − q): это одно и то же, только знаки перевёрнуты.

При q = 1 формула не работает — она делит на q − 1, то есть на ноль. Но в этом случае и вычислять нечего: все члены одинаковы, и результат равен первому члену, умноженному на их количество.

Бесконечно убывающая

Если модуль знаменателя меньше единицы, члены уменьшаются быстрее, чем растёт их количество. Тогда у бесконечной последовательности слагаемых есть конечная сумма:

S_{\infty} = \frac{b_{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

Условие |q| < 1 обязательно: при |q| ≥ 1 частичные суммы растут неограниченно. Знак знаменателя роли не играет, важен модуль.

Через эту формулу бесконечную десятичную дробь переводят в обыкновенную: периодическая часть и есть такая прогрессия.

Как решают задачи

Почти любое школьное задание про геометрическую прогрессию сводится к одному вопросу: какие данные есть в условии и какую формулу они позволяют применить. Разберём порядок действий, который закрывает большинство задач.

Выписать данные из условия: начальный член, знаменатель, номер и количество членов. Что-то из этого почти всегда придётся найти самому.
Если знаменатель не дан — разделить любой член на предыдущий. Если дан не соседний, а удалённый, помогает формула n-го члена, решённая относительно q.
Подобрать формулу под вопрос задачи: найти отдельный член — одна, сумму — другая, бесконечную сумму — третья. Все виды сведены в таблицу ниже.
Проверить ответ: при |q| больше единицы значения растут, при меньшей — уменьшаются, при отрицательном знаменателе чередуют знак.

На ЕГЭ и ОГЭ по математике такие задачи решаются в два-три действия. Сложность не в вычислениях, а в данных условия: номер члена и количество членов — разные величины.

Показательная функция ведёт себя так же: члены геометрической прогрессии — значения функции y = b₁·qˣ в целых точках. Поэтому её график уходит вверх круче любой прямой.

Характеристическое свойство

Квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению соседних:

b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}

Отсюда и название: каждый член равен среднему геометрическому соседей. Свойство работает в обе стороны и остаётся самым быстрым способом узнать вид последовательности, когда в условии он не назван. У арифметической устроено так же, но через среднее арифметическое.

Формулы рядом

Шесть формул закрывают почти любое школьное задание. Правая колонка подсказывает, какую брать.

ЧТО ИЩЕМ	ФОРМУЛА	КОГДА ПРИМЕНЯТЬ
n-й член	$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$	известны первый член и знаменатель
Знаменатель	$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$	известны два соседних члена
Сумма n членов	$S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$	знаменатель не равен единице
Особый случай	$S_{n} = b_{1} n, q = 1$	все члены одинаковы
Бесконечно убывающая	$S_{\infty} = \frac{b_{1}}{1 - q}$	модуль знаменателя меньше единицы
Характеристическое свойство	$b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$	нужно проверить, прогрессия ли это

Примеры расчёта

Геометрическая с дробным знаменателем

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}, a_{1} = 3, q = \frac{1}{2}, n = 6

Выписываем начало прогрессии

$3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \dots$

Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 1/2. Полезно выписать начало ряда и убедиться, что прогрессия та самая.
Считаем n-й член

$a_{6} = a_{1} q^{n - 1} = 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{3}{32}$

Первый член умножается на знаменатель 5 раз. Показатель на единицу меньше номера — у первого члена множителей ещё нет.
Считаем сумму

$S_{6} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1} = \frac{3 ({(\frac{1}{2})}^{6} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{189}{32}$

Формулу удобно применять в этом виде при q > 1. При q < 1 её часто переписывают как a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) — это то же самое, только оба знака перевёрнуты, чтобы не работать с отрицательными.

a_{6} = \frac{3}{32}, S_{6} = \frac{189}{32}

Ответ — обыкновенная дробь, и это точное значение. Округлив до 5,91, потеряешь точность зря: сумма геометрической прогрессии с рациональным знаменателем всегда рациональна.

Бесконечно убывающая: сумма всех членов

a_{1} = 4, q = \frac{1}{3}, S_{\infty} = ?

Считаем сумму бесконечной прогрессии

$S = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = 6$

При |q| < 1 члены убывают достаточно быстро, и сумма бесконечного числа слагаемых оказывается конечной. Формула получается из обычной при n → ∞: qⁿ стремится к нулю.

S = 6

Слагаемых бесконечно много, а сумма конечна — потому что члены убывают быстрее, чем растёт их количество. Работает это только при |q| < 1: при знаменателе 2 сумма неограниченно росла бы.

Рост в разы: знаменатель больше единицы

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}, a_{1} = 5, q = 3, n = 7

Выписываем начало прогрессии

$5, 15, 45, 135, 405, \dots$

Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 3. Полезно выписать начало ряда и убедиться, что прогрессия та самая.
Считаем n-й член

$a_{7} = a_{1} q^{n - 1} = 5 \cdot 3^{6} = 3645$

Первый член умножается на знаменатель 6 раз. Показатель на единицу меньше номера — у первого члена множителей ещё нет.
Считаем сумму

$S_{7} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1} = \frac{5 (3^{7} - 1)}{3 - 1} = 5465$

Формулу удобно применять в этом виде при q > 1. При q < 1 её часто переписывают как a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) — это то же самое, только оба знака перевёрнуты, чтобы не работать с отрицательными.

a_{7} = 3645, S_{7} = 5465

При q > 1 члены растут, и растут быстро: седьмой больше первого в 729 раз. Поэтому формулу суммы здесь записывают через q^n − 1 в числителе — так и числитель, и знаменатель остаются положительными.

Вопросы

Почему показатель степени на один меньше номера?

У первого члена множителей ещё нет, у второго — один, у десятого — девять. Поэтому в формуле стоит q в степени n − 1. Возведение в степень n вместо n − 1 даёт правдоподобный, но неверный ответ.

Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да. При q < 0 знаки членов чередуются: 3, −6, 12, −24. Формулы при этом работают без изменений, а вот сумма бесконечной прогрессии существует, только если |q| < 1 — знак роли не играет, важен модуль.

Почему знаменателей иногда получается два?

Когда его ищут по двум членам через корень чётной степени, значений два — со знаком плюс и минус. Обе прогрессии подходят под условие, просто у второй знаки чередуются. Терять второй ответ нельзя.

Что не так с формулой суммы при q = 1?