Тригонометрические уравнения

Две серии там, где хочется написать одну

1. 1

   Переносим всё в левую часть

   $$\sin \left(x\right)-\frac{1}{2}=0$$

   Уравнение приводится к виду «выражение = 0». При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

2. 2

   Вводим замену t = sin x

   $$t-\frac{1}{2}=0,t=\sin x$$

   Замена превращает тригонометрическое уравнение в обычное алгебраическое. Ограничение на t помнить обязательно: у синуса и косинуса он не выходит за отрезок от −1 до 1.

3. 3

   Решаем уравнение относительно t

   $$t=\frac{1}{2}$$

   Каждый корень возвращается к исходной переменной по своей формуле. Корни, вышедшие за отрезок от −1 до 1, для синуса и косинуса отбрасываются.

4. 4

   Возвращаемся к переменной

   $$x=\frac{{(-1)}^n\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

   sin x = a даёт x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn. Множитель (−1)ⁿ здесь не украшение: он собирает в одну запись две серии, которые иначе пришлось бы писать отдельно.

5. 5

   Проверяем, что серий хватает

   $$0⩽x<2\pi$$

   На одном периоде численно найдены все корни уравнения, и каждый из них попал в одну из серий. Потерянная серия — самая частая ошибка в этой теме, и ловится она только такой проверкой.

• Ту же серию записывают и парой: x = arcsin a + 2πn вместе с x = π − arcsin a + 2πn. Обе записи верны и дают одно множество точек; парная удобнее, когда из ответа надо отобрать корни на отрезке.

На каждом периоде корня два: π/6 и 5π/6. Множитель (−1)ⁿ собирает их в одну запись, а период при этом πn. Ответ «x = π/6 + 2πn» теряет половину решений.

Частный случай: корень на периоде один

1. 1

   Переносим всё в левую часть

   $$\cos \left(x\right)-1=0$$

   Уравнение приводится к виду «выражение = 0». При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

2. 2

   Вводим замену t = cos x

   $$t-1=0,t=\cos x$$

   Замена превращает тригонометрическое уравнение в обычное алгебраическое. Ограничение на t помнить обязательно: у синуса и косинуса он не выходит за отрезок от −1 до 1.

3. 3

   Решаем уравнение относительно t

   $$t=1$$

   Каждый корень возвращается к исходной переменной по своей формуле. Корни, вышедшие за отрезок от −1 до 1, для синуса и косинуса отбрасываются.

4. 4

   Возвращаемся к переменной

   $$x=2\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

   cos x = a даёт x = ±arccos a + 2πn. Знак ± и период 2πn — именно так, а не (−1)ⁿ и πn: это формула для синуса, и подставлять её сюда нельзя. Часть корней — частные случаи: у них на периоде одно решение, а не два, и общая формула дала бы лишние точки.

5. 5

   Проверяем, что серий хватает

   $$0⩽x<2\pi$$

   На одном периоде численно найдены все корни уравнения, и каждый из них попал в одну из серий. Потерянная серия — самая частая ошибка в этой теме, и ловится она только такой проверкой.

Общая формула ±arccos a + 2πn дала бы две одинаковые серии: arccos 1 равен нулю, и ± ничего не меняет. Значения ±1 и 0 разбирают отдельно.

Замена превращает уравнение в квадратное

1. 1

   Вводим замену t = sin x

   $$2t^2-3t+1=0,t=\sin x$$

   Замена превращает тригонометрическое уравнение в обычное алгебраическое. Ограничение на t помнить обязательно: у синуса и косинуса он не выходит за отрезок от −1 до 1.

2. 2

   Решаем уравнение относительно t

   $$t=\frac{1}{2},t=1$$

   Каждый корень возвращается к исходной переменной по своей формуле. Корни, вышедшие за отрезок от −1 до 1, для синуса и косинуса отбрасываются.

3. 3

   Возвращаемся к переменной

   $$x=\frac{{(-1)}^n\pi }{6}+\pi n,x=2\pi n+\frac{\pi }{2},n\in \mathbb{Z}$$

   sin x = a даёт x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn. Множитель (−1)ⁿ здесь не украшение: он собирает в одну запись две серии, которые иначе пришлось бы писать отдельно. Часть корней — частные случаи: у них на периоде одно решение, а не два, и общая формула дала бы лишние точки.

4. 4

   Проверяем, что серий хватает

   $$0⩽x<2\pi$$

   На одном периоде численно найдены все корни уравнения, и каждый из них попал в одну из серий. Потерянная серия — самая частая ошибка в этой теме, и ловится она только такой проверкой.

Оба корня подошли: и 1/2, и 1 лежат на отрезке от −1 до 1. Вышедший за него корень отбрасывают не как посторонний, а как невозможный.

Однородное с отбором корней — как в задаче 13

1. 1

   Переносим всё в левую часть

   $$\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)=0$$

   Уравнение приводится к виду «выражение = 0». При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

2. 2

   Делим на косинус

   $$\mathrm{tg}\left(x\right)-1=0$$

   Уравнение однородное: у всех слагаемых одинаковая суммарная степень. Проверено, что cos x = 0 корнем не является — иначе делить было бы нельзя и серия решений пропала бы.

3. 3

   Находим область допустимых значений

   $$\cos x\mathrm{\ne }0$$

   Тангенс не определён там, где косинус обращается в ноль, котангенс — где обращается в ноль синус. Ответ обязательно проверяют на попадание в такие точки.

4. 4

   Вводим замену t = tg x

   $$t-1=0,t=\mathrm{tg}x$$

   Замена превращает тригонометрическое уравнение в обычное алгебраическое. Ограничение на t помнить обязательно: у синуса и косинуса он не выходит за отрезок от −1 до 1.

5. 5

   Решаем уравнение относительно t

   $$t=1$$

   Каждый корень возвращается к исходной переменной по своей формуле. Корни, вышедшие за отрезок от −1 до 1, для синуса и косинуса отбрасываются.

6. 6

   Возвращаемся к переменной

   $$x=\pi n+\frac{\pi }{4},n\in \mathbb{Z}$$

   tg x = a даёт x = arctg a + πn. Период у тангенса и котангенса равен π, а не 2π — серия здесь всегда одна.

7. 7

   Проверяем, что серий хватает

   $$0⩽x<2\pi$$

   На одном периоде численно найдены все корни уравнения, и каждый из них попал в одну из серий. Потерянная серия — самая частая ошибка в этой теме, и ловится она только такой проверкой.

8. 8

   Отбираем корни на отрезке

   $$x\in [0;2\pi ]:\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4}$$

   Отбор делается подстановкой целых n в каждую серию: перебираются подряд идущие номера, пока значения не выйдут за отрезок. Проверять надо все серии, а не первую — из второй на отрезок обычно тоже что-то попадает.

Делить на cos x можно, только убедившись, что cos x = 0 не корень: иначе серия x = π/2 + πn исчезла бы. Вторая половина задачи — отбор: перебирают целые n, пока значения не выйдут за отрезок.