Площадь квадрата

По стороне, диагонали или периметру — а если дана сама площадь, калькулятор найдёт сторону. Вместе с ответом строится чертёж по твоим числам.

Сторона a

Квадрат со стороной 5 и диагональю ≈ 7,07

ПЛОЩАДЬ

ПЕРИМЕТР

Сторона 5, диагональ ≈ 7,07

Пошаговое решение

Считаем площадь

S = a² = 5² = 25

Площадь квадрата — сторона, умноженная сама на себя. Отсюда и название второй степени: «квадрат числа».
Считаем периметр

P = 4a = 4 · 5 = 20

Четыре равные стороны — периметр вчетверо больше одной.
Находим диагональ

d = a√2 = 5 · 1,414214 = 7,071068

Корень из двух — иррациональное число, поэтому у квадрата с целой стороной диагональ целой не бывает никогда.

Как это считается

У квадрата всё выражается через одну величину — сторону. Отсюда четыре формулы, которые связывают между собой площадь, периметр и диагональ:

S = a^{2}, S = \frac{d^{2}}{2}, P = 4 a, d = a \sqrt{2}

Площадь через диагональ считается в одно действие: диагональ в квадрате, делённая пополам. Искать при этом сторону не нужно — и это заметно удобнее, потому что сторона через диагональ выражается с корнем.

Главная ловушка — квадратные единицы. Площадь измеряется в см² и м², и переводятся они не так, как длины: в квадратном метре десять тысяч квадратных сантиметров, а не сто. Делить на сто вместо десяти тысяч — самая частая ошибка в теме.

Вторая — рост при увеличении стороны. Если сторону удвоить, периметр вырастет вдвое, а площадь вчетверо: она зависит от стороны квадратично. Поэтому квадрат 6×6 вмещает не два, а четыре квадрата 3×3.

Примеры расчёта

По стороне: базовый случай

Сторона квадрата 5 см. Найти площадь, периметр и диагональ.

S = a² = 5² = 25 см²

Площадь квадрата — сторона, умноженная сама на себя.
P = 4a = 4 · 5 = 20 см

Все четыре стороны равны, поэтому периметр вчетверо больше одной.
d = a√2 = 5 · 1,414… ≈ 7,07 см

Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами по 5 см.

S = 25 см², P = 20 см, d ≈ 7,07 см

Число 25 в ответе и число 20 — разные величины: первое в квадратных сантиметрах, второе в обычных. У квадрата со стороной 4 они совпали бы численно (16 и 16), и это чистое совпадение, а не закономерность.

Обратная задача: дана площадь

Площадь квадрата 49 см². Найти сторону и периметр.

a = √S = √49 = 7 см

Площадь — сторона в квадрате, значит обратное действие это квадратный корень.
P = 4 · 7 = 28 см

Дальше обычная формула периметра.

a = 7 см, P = 28 см

Отрицательный корень здесь отбрасывают: сторона не бывает отрицательной. В алгебре у уравнения x² = 49 два корня, в геометрической задаче подходит только положительный.

По диагонали

Диагональ квадрата 8 см. Найти площадь.

S = d² / 2 = 64 / 2 = 32 см²

Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, и площадь выражается через неё напрямую — искать сторону не обязательно.
a = d / √2 = 8 / 1,414… ≈ 5,66 см

Если сторона всё-таки нужна, её находят делением диагонали на корень из двух.

S = 32 см²

Через диагональ площадь считается в одно действие и без иррациональных чисел, тогда как сторона получается с бесконечной дробью. Когда в условии дана диагональ, проще идти сразу к площади.

Вопросы

Как найти сторону, если известна площадь?

Взять квадратный корень из площади. Если площадь 49 см², сторона 7 см. Отрицательный корень отбрасывают: длина не бывает отрицательной, хотя у уравнения x² = 49 формально два решения.

Почему диагональ равна стороне, умноженной на корень из двух?

Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника с равными катетами. По теореме Пифагора d² = a² + a² = 2a², отсюда d = a√2. Корень из двух иррационален, поэтому у квадрата с целой стороной диагональ целой не будет никогда.

Площадь и периметр получились одинаковыми — это ошибка?

Нет, так бывает ровно у одного квадрата — со стороной 4: площадь 16 см², периметр 16 см. Числа совпали, но величины разные и единицы разные. Совпадение, а не закономерность.

Чем квадрат отличается от прямоугольника?

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Все формулы прямоугольника работают и для него, просто упрощаются: a · b превращается в a², а 2(a + b) в 4a. Обратное неверно: не всякий прямоугольник квадрат.

Как перевести площадь из квадратных сантиметров в квадратные метры?

Разделить на 10 000, а не на 100. В метре сто сантиметров, но в квадратном метре сто на сто, то есть десять тысяч квадратных сантиметров. Это самая частая ошибка в теме площадей.

Во сколько раз вырастет площадь, если удвоить сторону?

В четыре раза, а не в два. Площадь зависит от стороны квадратично: сторона 3 даёт 9, сторона 6 даёт 36. Периметр при этом вырастет ровно вдвое — он зависит от стороны линейно.

Площадь квадрата

Калькулятор

Пошаговое решение

Считаем площадь

Считаем периметр

Находим диагональ