Площадь и периметр прямоугольника

Обе величины сразу, с чертежом по твоим числам. Если известны не стороны, а площадь, периметр или диагональ — выбери подходящий режим, вторая сторона найдётся сама.

Сторона a Сторона b

Прямоугольник со сторонами 8 и 5, диагональ ≈ 9,43

ПЛОЩАДЬ

ПЕРИМЕТР

Пошаговое решение

Считаем площадь

S = a · b = 8 · 5 = 40

Площадь измеряется в квадратных единицах: если стороны в сантиметрах, площадь в см².
Считаем периметр

P = 2 · (a + b) = 2 · (8 + 5) = 26

Периметр — длина всей границы. Складывать надо две разные стороны и удвоить, а не складывать все четыре по очереди — так чаще ошибаются.
Находим диагональ

d = √(a² + b²) = √(8² + 5²) = 9,433981

По теореме Пифагора: диагональ — гипотенуза треугольника, образованного двумя сторонами.

Как это считается

Площадь прямоугольника — произведение сторон, периметр — удвоенная сумма двух соседних, диагональ — гипотенуза треугольника из этих же сторон:

S = a b, P = 2 (a + b), d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Формулы простые, и ошибаются обычно не в них. Первая ловушка — единицы: площадь выходит в квадратных, и переводятся они не так, как длины. В метре сто сантиметров, а в квадратном метре десять тысяч квадратных сантиметров.

Вторая — попытка связать площадь с периметром. Прямой связи нет: у прямоугольников 1×12 и 3×4 площадь одинаковая, а периметры 26 и 14. Из одной величины другую не получить, нужна ещё одна сторона.

Квадрат — частный случай прямоугольника, а не отдельная фигура: у него просто равны стороны, и все три формулы работают без изменений. Обратное неверно, прямоугольник квадратом не является.

Примеры расчёта

Две стороны: базовый случай

Стороны прямоугольника 8 см и 5 см. Найти площадь и периметр.

S = a · b = 8 · 5 = 40 см²

Площадь — произведение сторон.
P = 2 · (a + b) = 2 · (8 + 5) = 26 см

Периметр — сумма двух соседних сторон, удвоенная. Складывать все четыре по очереди тоже верно, но дольше и ошибиться проще.

S = 40 см², P = 26 см

Площадь и периметр — разные величины и в разных единицах: площадь в квадратных сантиметрах, периметр в обычных. Сравнивать их между собой бессмысленно, хотя числа стоят рядом.

Обратная задача: дана площадь

Площадь прямоугольника 48 см², одна сторона 6 см. Найти периметр.

b = S / a = 48 / 6 = 8 см

Сначала восстанавливаем вторую сторону: площадь делим на известную сторону.
P = 2 · (6 + 8) = 28 см

Теперь обе стороны известны, и периметр считается обычным способом.

P = 28 см

Задачи «дана площадь, найти периметр» решаются в два хода через вторую сторону. Прямой формулы от площади к периметру нет: у прямоугольников с одинаковой площадью периметры разные.

По диагонали и стороне

Диагональ прямоугольника 10 см, одна сторона 6 см. Найти площадь.

b = √(d² − a²) = √(100 − 36) = √64 = 8 см

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, где она — гипотенуза. Вторая сторона находится по теореме Пифагора.
S = 6 · 8 = 48 см²

Дальше обычная формула площади.

S = 48 см²

Стороны 6, 8 и диагональ 10 — тот же египетский треугольник, что и 3-4-5, только увеличенный вдвое. В школьных задачах такие наборы встречаются постоянно, их полезно узнавать.

Вопросы

Чем площадь отличается от периметра?

Площадь — сколько места фигура занимает внутри, измеряется в квадратных единицах. Периметр — длина её границы, измеряется в обычных. У прямоугольника 1×12 и 3×4 периметры 26 и 14, а площадь у обоих 12: связи между этими величинами нет.

Можно ли найти периметр, зная только площадь?

Нет. У одной и той же площади бесконечно много прямоугольников с разными периметрами: 2×18, 3×12, 4×9 — площадь везде 36, а периметры 40, 30 и 26. Нужна ещё одна величина — сторона или диагональ.

Как посчитать площадь квадрата?

Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, так что подойдёт та же формула: сторона на сторону, то есть сторона в квадрате. Периметр — сторона, умноженная на четыре. Калькулятор распознаёт такой случай и подписывает его.

Стороны в разных единицах: 2 м и 30 см

Сначала приведи к одной единице, иначе ответ будет бессмысленным. 2 м = 200 см, площадь 200 × 30 = 6000 см². В квадратных метрах это 0,6 м², а не 60: в квадратном метре десять тысяч квадратных сантиметров, а не сто.

Зачем нужна диагональ?

Через неё задают размер там, где стороны неудобно мерить: диагональ экрана, диагональ комнаты. Зная диагональ и одну сторону, вторую находят по теореме Пифагора, а дальше считают всё остальное.

Как найти сторону, если известны площадь и периметр?

Такая пара приводит к квадратному уравнению: из периметра a + b = P/2, из площади a · b = S. Это в точности теорема Виета, и стороны — корни уравнения x² − (P/2)x + S = 0.

Площадь и периметр прямоугольника

Калькулятор

Пошаговое решение

Считаем площадь

Считаем периметр

Находим диагональ