Площадь треугольника

Выбери способ по тому, что дано в условии, — получишь площадь, разбор по шагам и чертёж, построенный по твоим числам.

формула Герона

Сторона a Сторона b Сторона c

Треугольник ABC со сторонами 3, 4 и 5

Дробь можно писать через запятую

Как это считается

Формул площади треугольника много, и это не избыточность. В задаче даны те элементы, какие даны: где-то высота, где-то только стороны, где-то угол между ними. Под каждый набор своя формула, и подгонять условие под любимую не выйдет.

S = \frac{a h}{2}, S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}, S = \frac{1}{2} a b \sin γ

Базовая — половина произведения основания на высоту. Остальные выводятся из неё: например, высота к стороне b равна a·sin γ, и подстановка сразу даёт формулу с синусом.

Формула Герона стоит особняком: она единственная обходится вообще без углов и высот. Начинается с полупериметра — половины суммы сторон, — и дальше под корень идут четыре множителя. Именно её применяют, когда в условии три числа и больше ничего.

Перед расчётом стоит проверить, существует ли такой треугольник вообще. Сумма двух меньших сторон обязана быть больше третьей: при 1, 2 и 10 фигуры нет, и под корнем у Герона окажется отрицательное число. Калькулятор проверяет это сам и отказывается считать, а не выдаёт бессмысленный ответ.

Какой способ выбрать

Смотри не на то, что нужно найти, а на то, что уже дано:

ЧТО ДАНО	ФОРМУЛА	НА ЧЁМ ОШИБАЮТСЯ
Основание и высота к нему	S = a·h / 2	Высота должна опускаться именно на это основание, а не на соседнюю сторону
Три стороны	Формула Герона	Работает всегда, когда треугольник существует. Начинается с полупериметра
Две стороны и угол между ними	S = ½·a·b·sin γ	Угол именно между этими сторонами. Напротив — не подойдёт
Три стороны и радиус вписанной	S = p·r	Полупериметр, а не периметр: перепутав, ошибёшься ровно вдвое
Три стороны и радиус описанной	S = abc / (4R)	У прямоугольного треугольника R равен половине гипотенузы

Если дано больше, чем нужно одной формуле, — считай двумя и сверь. Совпали ответы, значит в условии нет опечатки, а в вычислениях промаха.

Примеры расчёта

Три стороны: египетский треугольник

a = 3, b = 4, c = 5

Находим полупериметр

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

Полупериметр — половина суммы всех сторон. С него начинается формула Герона.
Записываем формулу Герона

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Формула работает для любого треугольника, когда известны все три стороны и больше ничего.
Подставляем значения

$S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Каждая скобка — полупериметр минус своя сторона. Все они обязаны быть положительными.
Считаем

$S = 6$

Корень оставляем точным, если он не извлекается: так записывают ответ в задачнике.

S = 6

Стороны 3, 4, 5 дают прямоугольный треугольник — это и есть египетский треугольник, которым размечали прямой угол задолго до теоремы Пифагора. Площадь вышла целой, и её легко проверить как половину произведения катетов.

Основание и высота: где теряют половину

a = 10, h = 6

Записываем формулу

$S = \frac{a \cdot h}{2}$

Половина произведения основания на высоту, проведённую к нему. Высота должна опускаться именно на это основание — самая частая ошибка в теме, когда берут высоту к другой стороне.
Подставляем значения

$S = \frac{10 \cdot 6}{2}$

Подставляем то, что дано в условии.
Считаем

$S = 30$

Единицы измерения площади — квадратные: если стороны в сантиметрах, площадь в см².

S = 30

Самая частая ошибка здесь — забыть разделить на два и записать 60. Проверка простая: треугольник это половина прямоугольника с теми же основанием и высотой, а у прямоугольника площадь как раз 60.

Две стороны и угол между ними

a = 8, b = 10, γ = 30^{\circ}

Записываем формулу

$S = \frac{1}{2} a b \sin γ$

Угол должен лежать между этими двумя сторонами. Если взять угол напротив одной из них, формула даст неверный ответ.
Подставляем значения

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30^{\circ}$

Синус берётся от угла в градусах — в калькуляторе следите за режимом DEG, а не RAD.
Считаем

$S = 20$

У прямого угла синус равен единице, и формула превращается в половину произведения катетов.

S = 20

Синус тридцати градусов равен одной второй, поэтому ответ получился круглым. Важно, что угол взят именно между данными сторонами: угол напротив одной из них в эту формулу не подставляют.

Вопросы

Какую высоту брать, если их три?

Ту, что проведена к выбранному основанию. Высот действительно три — по одной к каждой стороне, — и каждая работает только в паре со своей стороной. Возьмёшь высоту к стороне b, а умножишь на сторону a — получишь чужое число, внешне правдоподобное.

Под корнем в формуле Герона получилось отрицательное число

Значит, треугольника с такими сторонами не существует: сумма двух меньших сторон должна быть строго больше третьей. Проверь условие — чаще всего это опечатка в одной цифре. Калькулятор такие данные отклоняет до расчёта и говорит прямо.

Ответ получился с корнем — это нормально?

Да, и его так и оставляют. У равностороннего треугольника со стороной 2 площадь равна √3 — это точное значение, а 1,73 уже округление. В контрольной пишут корень, если из него не извлекается целое.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Это половина произведения катетов: они же служат друг для друга основанием и высотой. Подойдёт любой из способов — через основание и высоту или через две стороны и угол 90°, синус которого равен единице. Ответ будет одинаковым.

Известны только координаты вершин

Посчитай длины сторон по теореме Пифагора: разность абсцисс в квадрате плюс разность ординат в квадрате, всё под корнем. Получишь три стороны и дальше считай по Герону.

В каких единицах получается ответ?

В квадратных. Стороны в сантиметрах — площадь в см², в метрах — в м². Единицы калькулятор не подставляет: в условии они бывают разными, и смешивать их нельзя. Перед расчётом приведи все длины к одной единице.

Зачем чертёж, если нужно только число?

Чтобы увидеть ошибку в условии раньше, чем она попадёт в ответ. Если треугольник на рисунке вышел вырожденным в полоску или не построился вовсе — данные не сходятся. Заодно его можно перерисовать в тетрадь: в задачах по геометрии чертёж входит в оформление.