Импульс тела

Импульс по массе и скорости, скорости после столкновения — упругого и неупругого — и сила удара через импульс силы. Со знаками и проверкой законов сохранения.

Что считаем:

МАССА m

СКОРОСТЬ v

Импульс — вектор: минус в скорости означает движение в обратную сторону, а не «меньше».

Расчёт идёт в браузере — данные никуда не отправляются

Как это считается

Импульс — произведение массы на скорость. Сумма импульсов замкнутой системы не меняется ни при каком ударе.

p = m v m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}

Знак — это половина задачи. Импульс векторный, и при встречном движении слагаемые вычитаются. Сложить модули — ошибка номер один в теме: ответ выходит завышенным, а при равных импульсах вместо нуля получается удвоенное значение.

Неупругий удар — тела слипаются и едут вместе. Импульс сохраняется, часть энергии уходит в нагрев и деформацию. При упругом ударе сохраняется и энергия, и это даёт вторую, независимую проверку расчёта.

Записанный через силу, тот же закон объясняет ремни и подушки: изменение импульса задано условием, а время удара — нет.

Импульсы вокруг нас

Рядом стоят импульс и энергия — видно, насколько по-разному они устроены.

ЧТО	СКОРОСТЬ	p, КГ·М/С	ЭНЕРГИЯ
Пуля, 9 г	700 м/с	6,3	2205 Дж
Теннисный мяч, 58 г	50 м/с	2,9	72,5 Дж
Футбольный мяч, 430 г	25 м/с	10,8	134 Дж
Человек бегом, 70 кг	7 м/с	490	1715 Дж
Легковой автомобиль, 1,5 т	60 км/ч	25 000	208 кДж
Вагон, 60 т	1 м/с	60 000	30 кДж

У вагона импульс вдвое больше автомобильного, а энергии в семь раз меньше. У пули импульс всего вдвое больше, чем у теннисного мяча, — а энергия в тридцать раз. Одна величина ничего не говорит о другой.

Примеры расчёта

Встречный удар: где теряется минус

тележка 2 кг едет со скоростью 5 м/с, навстречу — тележка 3 кг со скоростью 2 м/с; после удара они сцепились

Записываем импульсы со знаком

$p_{1} = 2 \cdot 5 = 10, p_{2} = 3 \cdot (- 2) = - 6 кг \cdot м/с$

Ось направлена вдоль движения первой тележки. Вторая едет навстречу, поэтому её скорость отрицательна — это не оформление, а часть условия.
Складываем

$p = 10 + (- 6) = 4 кг \cdot м/с$

Сумма модулей дала бы 16 — ответ был бы завышен вчетверо. Именно здесь чаще всего и ошибаются: складывают числа, не глядя на направление.
Находим общую скорость

$u = \frac{p}{m_{1} + m_{2}} = \frac{4}{5} = 0,8 м/с$

Знак плюс означает, что сцепка поедет туда же, куда двигалась первая тележка. Более лёгкая, но более быстрая — перевесила.
Проверяем энергию

$E_{1} = 31 Дж \to E_{2} = 1,6 Дж$

Импульс сохранился полностью, а энергии осталось пять процентов: остальное ушло в нагрев и смятый бампер.

Проверка на правдоподобие простая: после встречного удара скорость сцепки не может превысить бо́льшую из исходных. Получилось 3,2 м/с вместо 0,8 — значит, потерян знак.

Почему ремень спасает, если импульс всё равно тот же

пассажир 70 кг, машина шла 54 км/ч и врезалась в препятствие

Считаем изменение импульса

$Δ p = m (v - v_{0}) = 70 \cdot (0 - 15) = - 1050 кг \cdot м/с$

Пятьдесят четыре километра в час — это 15 м/с. Изменение импульса задано условием: тело двигалось, стало стоять. Уменьшить его нельзя ничем.
Жёсткий удар о руль — 0,1 с

$F = \frac{Δ p}{t} = \frac{1050}{0,1} = 10 500 Н$

Это в пятнадцать раз больше веса пассажира — как если бы на него положили тонну. Такой удар человек не выдерживает.
Ремень и подушка — 0,5 с

$F = \frac{1050}{0,5} = 2100 Н$

Растянули удар впятеро по времени — сила упала ровно впятеро. Ремень тянется, подушка сдувается, кузов сминается: всё это работает на увеличение t.

Δp изменить невозможно, а вот t — можно. На этом же держатся приземление на согнутые ноги, боксёрские перчатки и щебёнка под турником.

Вопросы

Зачем скорости знак?

Импульс — вектор. При движении навстречу импульсы вычитаются, и минус решает всё: 10 и 6 дают либо 16, либо 4. Выбирают ось, вдоль неё скорости положительны, против — отрицательны. Тело в покое даёт ноль.

Чем импульс отличается от кинетической энергии?

Импульс растёт со скоростью линейно, энергия — квадратично, поэтому величины ведут себя по-разному. Импульс сохраняется при любом ударе, энергия — только при упругом.

Сохраняется ли импульс при неупругом ударе?

Да, полностью. Это и делает закон сохранения импульса таким удобным: он работает и когда тела слипаются, и когда разлетаются, и когда разваливаются на части. Энергия при этом сохраняется далеко не всегда.

Куда девается энергия при неупругом ударе?

В нагрев, деформацию и звук. Смятый бампер, тёплое место удара, грохот — это и есть потерянные джоули. Во встречном столкновении может уйти больше девяноста процентов энергии, а импульс останется прежним.

Что такое замкнутая система?

Та, на которую не действуют внешние силы либо они малы за время удара. Столкновение длится сотые доли секунды — трение и тяжесть за это время передать заметный импульс не успевают.

Как из импульса получить силу удара?

Разделить изменение импульса на время удара: F = Δp / t. Время берут не «время торможения», а те доли секунды, за которые тело останавливает препятствие.

Как импульс объясняет реактивное движение?

Ракета выбрасывает часть своей массы — топливо — в одну сторону, и газы уносят импульс. По закону сохранения ракета получает точно такой же импульс в противоположную сторону. Опора или среда для этого не нужны вовсе, поэтому реактивное движение работает в вакууме — в отличие от гребли или ходьбы, где отталкиваются именно от внешней среды.

Импульс тела

Калькулятор

Как это считается

Импульсы вокруг нас

Примеры расчёта

Встречный удар: где теряется минус

Записываем импульсы со знаком

Складываем

Находим общую скорость

Проверяем энергию

Почему ремень спасает, если импульс всё равно тот же

Считаем изменение импульса

Жёсткий удар о руль — 0,1 с

Ремень и подушка — 0,5 с

Вопросы

Похожие калькуляторы