Потенциальная энергия

Энергия поднятого тела с явным выбором уровня отсчёта, энергия сжатой пружины и переход потенциальной энергии в кинетическую по закону сохранения.

Что считаем:

МАССА m

ГДЕ ВЫСОТА ТЕЛА h

УРОВЕНЬ ОТСЧЁТА h₀

Обе высоты отсчитываются от одного и того же места. Уровень отсчёта — то, где энергию считают нулевой.

Расчёт идёт в браузере — данные никуда не отправляются

Как это считается

Потенциальная энергия — это запасённая работа. У поднятого тела её запасла сила тяжести, у пружины — сила упругости.

E = m g h E = \frac{k x^{2}}{2}

Высота отсчитывается от уровня, который выбирают сами. Это единственная школьная формула, где само число зависит от произвольного решения человека. Пока уровень не назван, задача не поставлена; ниже него энергия отрицательна, и в этом нет ничего странного.

Смысл имеет только разность: сколько тело отдаст, опустившись отсюда туда. От выбора нуля она не зависит совсем.

Потенциальная энергия вообще существует только у сил особого типа — консервативных: их работа зависит лишь от начального и конечного положения тела, а не от формы пути между ними. Сила тяжести и сила упругости консервативны, поэтому у них есть потенциальная энергия. У силы трения её нет: работа трения растёт с длиной самого пути, и отобранную ей энергию обратно уже не собрать.

У пружины ловушка другая: в формулу идёт деформация, а не длина. И двойка в знаменателе появляется не просто так — сила упругости растёт от нуля, поэтому работа считается по средней силе.

Откуда мерить высоту

Книга массой 2 кг лежит на столе высотой 75 см. Пол комнаты — в 3,5 м над землёй, потолок — в 2,7 м над полом.

УРОВЕНЬ ОТСЧЁТА	ВЫСОТА	ЭНЕРГИЯ	ПРИМЕЧАНИЕ
Поверхность стола	0 м	0 Дж	удобно, если книга падает на стол
Пол комнаты	0,75 м	14,7 Дж	самый обычный выбор
Земля, комната на 2-м этаже	4,25 м	83,3 Дж	тоже верно
Потолок	−1,95 м	−38,22 Дж	минус — не ошибка

Четыре разных ответа — и все правильные. Но упав со стола на пол, книга в любом случае отдаст 14,7 Дж: разность высот от выбора нуля не зависит.

Примеры расчёта

Эспандер: сила вдвое, энергия вчетверо

резиновый эспандер жёсткостью 200 Н/м растянули на 40 см, а потом на 80 см

Переводим деформацию в метры

$x = 40 см = 0,4 м$

В формулу идёт растяжение, а не длина эспандера. Сантиметры, оставленные как есть, занижают энергию в десять тысяч раз — деформация под квадратом.
Находим силу и энергию

$F = k x = 80 Н, E = \frac{k x^{2}}{2} = \frac{200 \cdot 0,16}{2} = 16 Дж$

Двойка в знаменателе появляется потому, что сила росла от нуля до восьмидесяти ньютонов. Работа считается по средней силе, а она вдвое меньше конечной.
Растягиваем вдвое дальше

$F = 160 Н (\times 2), E = 64 Дж (\times 4)$

Тянуть стало вдвое тяжелее, а работы пришлось совершить вчетверо больше. Именно поэтому последние сантиметры растяжения даются заметно труднее первых.

Сила и энергия ведут себя по-разному, и путать их нельзя. Ощущение «тяжело» — про силу, а вот выматывает подход именно энергия, которой набирается вчетверо.

Санки с горки: масса в ответ не входит

санки с седоком общей массой 40 кг скатываются с горки высотой 5 метров

Записываем энергию наверху

$E = m g h = 40 \cdot 9,8 \cdot 5 = 1960 Дж$

За ноль взята нижняя точка склона. Наверху санки стоят, значит вся энергия потенциальная.
Приравниваем к энергии внизу

$\frac{m v^{2}}{2} = 1960 Дж$

Внизу высота нулевая, движение — максимальное. Полная механическая энергия та же самая, просто вся стала кинетической.
Сокращаем массу

$v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 5} \approx 9,9 м/с$

Масса стоит в обеих частях и уходит целиком. Взрослый и ребёнок скатятся с одной горки с одинаковой скоростью — около 36 км/ч.

Форма склона тоже не важна: крутой он или пологий, значение имеет только разность высот. Трение это ломает — с ним пологий спуск отберёт больше, потому что путь длиннее.

Вопросы

От какого уровня отсчитывать высоту?

От любого — важно лишь назвать его и держаться до конца задачи. Обычно берут пол, землю или нижнюю точку движения. Само число от выбора зависит, а разность — нет.

Может ли потенциальная энергия быть отрицательной?

Да, если тело ниже выбранного уровня. Мяч под столом относительно столешницы имеет отрицательную энергию, и это не ошибка: чтобы поднять его до нуля, придётся совершить работу.

Что подставлять в формулу пружины — длину или растяжение?

Растяжение: насколько пружина стала длиннее или короче по сравнению со свободным состоянием. Полная длина в формулу не входит вовсе. Это самая частая ошибка темы, и она сразу даёт ответ в разы больше.

Откуда в формуле пружины двойка?

Сила упругости растёт от нуля до kx по мере растяжения, поэтому работа считается по средней силе — она вдвое меньше конечной. Отсюда kx²/2. У поднятого тела сила тяжести постоянна, и никакой двойки в mgh нет.

Зависит ли скорость внизу от массы?

Нет. Масса стоит в обеих частях равенства mgh = mv²/2 и сокращается: v = √(2gh). Тяжёлые санки и лёгкие скатятся с одной горки одинаково — при условии, что трением пренебрегают.

А от формы горки?

Без трения — нет, значение имеет только разность высот. С трением пологий длинный спуск отберёт больше энергии, чем крутой короткий: путь длиннее, а сила трения работает на всём пути.

Чем потенциальная энергия отличается от кинетической?

Потенциальная — энергия положения: высоты над выбранным уровнем или деформации пружины, от скорости она не зависит вовсе. Кинетическая — энергия движения, зависит от скорости и не зависит от положения. Их сумма — полная механическая энергия — сохраняется без трения: санки, скатываясь с горки, теряют потенциальную ровно на столько, на сколько прибывает кинетическая.

Потенциальная энергия

Калькулятор

Как это считается

Откуда мерить высоту

Примеры расчёта

Эспандер: сила вдвое, энергия вчетверо

Переводим деформацию в метры

Находим силу и энергию

Растягиваем вдвое дальше

Санки с горки: масса в ответ не входит

Записываем энергию наверху

Приравниваем к энергии внизу

Сокращаем массу

Вопросы

Похожие калькуляторы