Длина окружности

По радиусу, диаметру или в обратную сторону — от длины к радиусу. Заодно калькулятор покажет площадь круга: величины связаны, и в задачах обычно нужны обе.

Радиус r

Окружность — сама линия, круг — то, что внутри неё

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

≈ 31,42

ПЛОЩАДЬ КРУГА

≈ 78,54

Радиус 5, диаметр 10

Пошаговое решение

Считаем длину окружности

C = 2πr = 2 · 3,141593 · 5 = 31,415927

Длина окружности — это её «периметр», линия границы. Измеряется в обычных единицах.
Считаем площадь круга

S = πr² = 3,141593 · 5² = 78,539816

Площадь круга — то, что внутри границы. Измеряется в квадратных единицах, и радиус входит в квадрате.

Как это считается

Длина окружности равна удвоенному радиусу, умноженному на число пи. Через диаметр запись короче, потому что диаметр и есть удвоенный радиус:

C = 2 π r = π d, r = \frac{C}{2 π}

Число π — это и есть отношение длины окружности к диаметру, одинаковое для любой окружности, от монеты до орбиты. Оно иррационально: 3,14159… без периода и без конца. В школьных задачах берут 3,14, если условие не требует иного.

Главная ошибка — перепутать радиус с диаметром. В формулу 2πr идёт радиус; если подставить туда диаметр, ответ выйдет вдвое больше. Обратная путаница в πd даёт ответ вдвое меньше. Проверять стоит сразу: длина окружности примерно втрое больше диаметра, и заметно отклонившийся ответ виден на глаз.

Точный ответ часто удобнее оставить с символом π. Запись 10π см — законченный ответ, а 31,4 см уже округление. В контрольной за первую форму придираться не станут, за вторую иногда снижают балл.

Окружность и круг — разное

В обиходе слова путают, а в геометрии это две разные вещи, и формулы у них разные:

ЧТО ЭТО	ОКРУЖНОСТЬ	КРУГ
Определение	Линия: все точки на равном расстоянии от центра	Часть плоскости внутри этой линии
Что измеряют	длина, C = 2πr	площадь, S = πr²
Единицы	обычные: см, м	квадратные: см², м²
Аналогия	обод колеса	монета целиком

Отсюда правило: «площади окружности» не бывает, как не бывает «длины круга». Если в задаче просят площадь — речь о круге, даже когда написано иначе.

Примеры расчёта

По радиусу

Радиус окружности 5 см. Найти длину.

C = 2πr = 2 · 3,141593 · 5 ≈ 31,42 см

Число пи в школьных задачах берут как 3,14, если в условии не сказано иначе. Тогда ответ выходит 31,4 — разница с точным значением в сотых долях.

C ≈ 31,42 см

Ответ в сантиметрах, а не в квадратных: длина окружности — это линия, а не площадь. Точный ответ записывают как 10π см, и в контрольной такая форма часто предпочтительнее десятичной.

По диаметру

Диаметр колеса 70 см. Сколько оно проезжает за один оборот?

C = πd = 3,141593 · 70 ≈ 219,9 см

За один полный оборот колесо проходит ровно свою длину окружности. Через диаметр формула короче: множителя два уже не нужно.
219,9 см ≈ 2,2 м

Переводим в метры, чтобы прикинуть масштаб: два оборота — примерно четыре с половиной метра.

C ≈ 219,9 см ≈ 2,2 м

Это стандартная задача на движение колеса: путь, делённый на длину окружности, даёт число оборотов. Ошибка здесь одна — подставить в формулу радиус вместо диаметра и получить ответ вдвое меньше.

Обратная задача: дана длина

Длина окружности 31,4 см. Найти радиус и диаметр.

r = C / (2π) = 31,4 / 6,283185 ≈ 5 см

Длина равна 2πr, значит радиус — это длина, делённая на 2π.
d = 2r = 10 см

Диаметр вдвое больше радиуса.

r ≈ 5 см, d ≈ 10 см

Так измеряют то, что нельзя разрезать: обхватывают предмет ниткой, измеряют её и делят на 2π. Именно этим способом определяют диаметр дерева или трубы.

Вопросы

Чем окружность отличается от круга?

Окружность — это линия, граница. Круг — вся часть плоскости внутри неё. Поэтому у окружности есть длина и нет площади, а у круга есть площадь. Говорить «площадь окружности» строго говоря неверно, хотя так часто пишут в задачах.

Какое значение пи подставлять?

В школьных задачах 3,14, если в условии не оговорено другое. Иногда просят взять 22/7 или оставить ответ с символом π — тогда 10π и есть окончательный ответ, его не нужно превращать в десятичную дробь.

Как найти длину дуги, а не всей окружности?

Взять от длины ту долю, какую составляет центральный угол от полного оборота: L = 2πr · α/360. У четверти окружности угол 90°, то есть четверть длины.

Длина окружности и периметр — это одно и то же?

По смыслу да: и то и другое — длина границы фигуры. Просто у многоугольников её называют периметром, а у окружности исторически закрепилось слово «длина». В формулах иногда пишут P вместо C.

Радиус увеличили вдвое. Что стало с длиной?

Тоже выросла вдвое: длина зависит от радиуса линейно. А вот площадь круга при этом вырастет вчетверо — она зависит от радиуса квадратично. Это две разные зависимости, и их часто путают.

Как измерить длину окружности на практике?

Обернуть ниткой и измерить нитку линейкой. Обратный ход тоже работает: разделив измеренную длину на 2π, получишь радиус предмета, который невозможно разрезать пополам, — например, ствола дерева.