Периметр треугольника

По трём сторонам, по координатам вершин или для равностороннего и равнобедренного. С чертежом по твоим числам — сразу видно, существует ли такой треугольник.

Сторона a Сторона b Сторона c

Треугольник ABC со сторонами 3, 4 и 5

ПЕРИМЕТР

Пошаговое решение

Складываем все стороны

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Периметр — длина всей границы фигуры. Он измеряется в обычных единицах, а не в квадратных: это длина, а не площадь.

Как это считается

Периметр — длина всей границы фигуры, то есть сумма сторон. Формулу для равностороннего и равнобедренного часто приводят отдельно, но это та же сумма, записанная короче:

P = a + b + c, P_{равност.} = 3 a, P_{равноб.} = 2 a + c

Сложность возникает не в арифметике, а раньше — когда стороны ещё нужно найти. По координатам вершин каждая сторона считается по теореме Пифагора: под корнем сумма квадратов разностей координат. Три стороны — три отдельных расчёта, и в них ошибаются чаще, чем в самом сложении.

Перед расчётом стоит убедиться, что треугольник вообще существует. Сумма двух любых сторон обязана быть строго больше третьей: при 1, 2 и 10 короткие стороны не дотянутся друг до друга. Формально сложить эти числа можно, но ответ будет относиться к фигуре, которой нет.

Периметр и площадь — разные величины, и одна из другой не выводится. У треугольников с равной площадью периметры могут отличаться в разы, поэтому задача «найти периметр по площади» без дополнительных данных решения не имеет.

Примеры расчёта

Три стороны: складываем

Стороны треугольника 3 см, 4 см и 5 см. Найти периметр.

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 см

Периметр — длина всей границы, то есть просто сумма сторон. Никаких формул запоминать не нужно.

P = 12 см

Ответ в сантиметрах, а не в квадратных: периметр — это длина. Площадь того же треугольника равна 6 см², и путать эти величины нельзя, хотя считаются они по тем же трём числам.

По координатам вершин

Вершины треугольника: A(1; 2), B(5; 5), C(1; 5). Найти периметр.

AB = √((5−1)² + (5−2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Расстояние между точками — это теорема Пифагора: разности координат служат катетами.
BC = √((1−5)² + (5−5)²) = √16 = 4

Здесь вторая разность нулевая — сторона горизонтальная, и её длина это просто разность абсцисс.
AC = √((1−1)² + (5−2)²) = √9 = 3

Аналогично для вертикальной стороны.
P = 5 + 4 + 3 = 12

Теперь складываем найденные длины.

P = 12

Стороны получились 3, 4 и 5 — снова египетский треугольник. Знак разности координат роли не играет: она возводится в квадрат, поэтому вычитать можно в любом порядке.

Равносторонний и равнобедренный

Найти периметр равностороннего треугольника со стороной 7 см и равнобедренного с боковой стороной 5 см и основанием 6 см.

P = 3a = 3 · 7 = 21 см

У равностороннего все три стороны равны, поэтому периметр — сторона, умноженная на три.
P = 2a + c = 2 · 5 + 6 = 16 см

У равнобедренного равны только боковые стороны, основание отличается, и его прибавляют отдельно.

21 см и 16 см

Ошибка здесь одна и та же: у равнобедренного умножают на три всю сторону подряд. Равносторонний — частный случай равнобедренного, а не наоборот.

Вопросы

Чем периметр отличается от площади?

Периметр — длина границы, измеряется в сантиметрах или метрах. Площадь — сколько места фигура занимает, измеряется в квадратных единицах. У треугольника 3-4-5 периметр 12 см, а площадь 6 см²: это разные величины, и сравнивать их между собой нельзя.

Можно ли найти периметр, зная только площадь?

Нет. У треугольников с одинаковой площадью периметры бывают очень разными: вытянутый и почти равносторонний треугольник могут занимать одну площадь при совершенно разной длине границы. Нужны сами стороны или данные, из которых они находятся.

Как найти третью сторону, если известен периметр?

Вычесть из периметра две известные стороны. Если получилось число, которое больше или равно сумме двух других, — в условии ошибка: такого треугольника не существует.

Что такое неравенство треугольника?

Правило, по которому сумма двух любых сторон должна быть строго больше третьей. При сторонах 1, 2 и 10 фигуры не получится: короткие стороны просто не дотянутся друг до друга. Калькулятор проверяет это и отказывается считать.

Как считать периметр по координатам?

Найти длину каждой стороны по теореме Пифагора: под корнем сумма квадратов разностей координат. Три стороны — три расчёта, дальше обычное сложение. Порядок вычитания координат не важен: разность возводится в квадрат.

У равнобедренного треугольника периметр считается по особой формуле?

Нет, формула та же — сумма трёх сторон. Просто две из них равны, поэтому её удобно записать как 2a + c. У равностороннего равны все три, и получается 3a. Это сокращённые записи одного и того же, а не отдельные правила.