По стороне и высоте, сторонам и углу или диагоналям. Чертёж помогает увидеть, к какой стороне относится высота — именно на этом месте обычно теряются баллы.
S = a · h
Дробь можно писать через запятую
Если отрезать у наклонного параллелограмма угол и перенести его к другой стороне, выйдет прямоугольник. Основание остаётся a, а высота — перпендикулярное расстояние h между параллельными сторонами. Поэтому площадь не зависит от наклона сама по себе, а равна ah.
Высота к стороне a выражается через соседнюю сторону: h = b sin α. Подстановка даёт формулу ab sin α. Через диагонали фигура распадается на треугольники; их площади дают половину произведения диагоналей на синус угла между ними.
У параллелограмма две высоты, и они обычно не равны. Выбрал длинную сторону за основание — бери высоту, опущенную к ней. Пара из одной стороны и чужой высоты выглядит правдоподобно, но описывает не ту площадь.
Синус не различает соседние углы: sin 60° и sin 120° равны. Поэтому подходит любой угол между сторонами. При 90° синус равен единице, фигура становится прямоугольником, а формула возвращается к произведению сторон.
У фигуры со сторонами a и b высота к a равна b sin α, а высота к b равна a sin α. Они различаются, если стороны различаются. Одна и та же площадь подтверждает это: a · hₐ = b · hᵦ.
Высота никогда не больше соответствующей соседней стороны: она является её перпендикулярной проекцией. Если острый угол маленький, параллелограмм почти «ложится» на основание, и высота становится заметно меньше стороны.
Диагонали сами по себе недостаточны, если не указан угол между ними. Одинаковое произведение диагоналей может принадлежать фигурам разной площади: синус угла меняется от почти нуля до единицы.
Сторона a = 8 см, высота к этой стороне h = 5 см. Найти площадь.
Высота должна быть проведена к стороне 8 см. Здесь пара «сторона — её высота» уже согласована условием.
Получился тот же результат, что у прямоугольника с основанием 8 и высотой 5.
S = 40 см²
Наклон боковой стороны не добавляют к формуле. Он влияет на высоту, но если высота дана, задача уже решена.
Стороны параллелограмма 8 см и 10 см, угол между ними 30°. Найти площадь.
Синус угла превращает вторую сторону в высоту к первой: h = 10 sin 30°.
sin 30° = 0,5. Множителя 1/2 перед всей формулой нет.
S = 40 см²
Треугольник с такими же сторонами и углом имел бы площадь 20 см². Параллелограмм составлен из двух таких треугольников, поэтому делить на два здесь нельзя.
Диагонали равны 10 см и 8 см, угол между ними 90°. Найти площадь.
Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника; отсюда в формуле появляется деление на два.
sin 90° = 1, поэтому остаётся половина произведения диагоналей.
S = 40 см²
Не путай эту запись с формулой ромба: у обычного параллелограмма угол между диагоналями нужно знать отдельно.
Две разные длины: высота к одной паре сторон и высота к другой. Каждую из них можно провести из разных вершин, но расстояние между одной парой параллельных сторон остаётся одинаковым.
Высота должна быть перпендикулярна именно выбранной стороне. Сторона 8 см и высота к стороне 6 см не образуют основание и высоту одной площади; такая подстановка меняет фигуру.
Параллелограмм раскладывается на два равных треугольника. У одного площадь ab sin α / 2, у двух половины складываются и сокращают деление.
Любой. Соседние углы дают 180°, а sin α = sin(180° − α). Поэтому при 60° и 120° ответ одинаковый.
Когда один угол равен 90°. Тогда sin 90° = 1, высота к стороне b равна b, и формула ab sin α превращается в знакомое S = ab.
Нет. Высота к стороне a равна b sin α, а синус не больше единицы. Равенство бывает у прямоугольника; если в задаче получилось больше, перепутаны данные или единицы.
Этот сайт использует cookie для хранения данных. Продолжая использовать сайт, Вы даете свое согласие на работу с этими файлами. Политика конфиденциальности.