Площадь трапеции

По двум основаниям и высоте, четырём сторонам или средней линии. В расчёте видны основания, высота и вспомогательные треугольники, а не просто готовое число.

S = (a + b) / 2 · h

Основание a Основание b Высота h

Трапеция с основаниями 6 и 4, высота 5

Дробь можно писать через запятую

Как это считается

Трапецию можно разрезать высотами на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Их площади вместе дают высоту, умноженную на среднюю длину верхней и нижней сторон. Поэтому складывают именно основания и делят сумму пополам.

S = \frac{a + b}{2} h = m h

Боковые стороны в этой записи не участвуют. Они могут быть длинными и наклонными, но площадь определяет расстояние между основаниями. Это расстояние называется высотой и всегда проводится под прямым углом к обоим основаниям.

Чаще всего в формулу вместо высоты ставят боковую сторону. Проверь угол у отрезка: если нет 90°, это не высота. Вторая частая ошибка — назвать основаниями любые две стороны, потому что они нарисованы горизонтально; важна только параллельность.

Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Её длина уже равна половине суммы оснований, так что формула сжимается до S = mh. Это не отдельное правило, а та же формула без лишнего действия.

Если даны четыре стороны

Когда высоты нет, от большего основания мысленно отрезают меньшее и опускают высоты. Оставшаяся разность оснований распадается на два горизонтальных катета. Вместе с боковыми сторонами они образуют вспомогательный треугольник; его площадь находится по формуле Герона, а затем из площади извлекается высота.

У равнобедренной трапеции путь короче: разность оснований делится пополам, а высота находится по теореме Пифагора. Но не переноси это деление на обычную трапецию — равные куски появляются только при равных боковых сторонах.

Для параллелограмма такой приём не работает. Его основания равны, разность равна нулю, а угол между сторонами остаётся неизвестным. Поэтому по одним четырём сторонам площадь параллелограмма определить нельзя.

Примеры расчёта

Основания и высота

Основания трапеции равны 6 см и 4 см, высота 5 см. Найти площадь.

S = (6 + 4) / 2 · 5 = 10 / 2 · 5

В скобках складываются два параллельных основания. Боковые стороны здесь вообще не нужны.
S = 5 · 5 = 25 см²

Средняя линия этой трапеции равна 5 см, поэтому можно видеть формулу как m · h.

S = 25 см²

Если в ответе вышло 50 см², скорее всего, пропущено деление на два. Площадь трапеции — не сумма площадей двух прямоугольников.

Равнобедренная трапеция по сторонам

Основания 10 см и 4 см, боковые стороны по 5 см. Найти площадь.

(10 − 4) / 2 = 3 см

Опускаем две высоты от концов меньшего основания. Разность оснований делится поровну: у каждого края получается отрезок 3 см.
h = √(5² − 3²) = √16 = 4 см

Боковая сторона стала гипотенузой прямоугольного треугольника, значит работает теорема Пифагора.
S = (10 + 4) / 2 · 4 = 7 · 4 = 28 см²

После нахождения высоты возвращаемся к обычной формуле трапеции.

S = 28 см²

Симметрия сработала потому, что трапеция равнобедренная. Для неравных боковых сторон оба маленьких треугольника разные.

Дана средняя линия

Средняя линия трапеции 7,5 см, высота 8 см. Найти площадь.

S = m · h = 7,5 · 8

Средняя линия уже равна половине суммы оснований, поэтому дробь в расчёте не появляется.
S = 60 см²

Это самый короткий способ, когда средняя линия указана прямо в условии.

S = 60 см²

Не подменяй среднюю линию любой линией внутри трапеции. Она соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям.

Вопросы

Какие стороны трапеции называют основаниями?

Только параллельные стороны. На привычном рисунке они лежат сверху и снизу, но фигуру можно повернуть: от этого основания не меняются.

Можно ли подставить боковые стороны в формулу площади?

Нет. Боковые стороны — это ноги трапеции, а формула использует основания и перпендикулярную высоту. Подстановка ноги вместо высоты даёт неверный ответ, если трапеция не прямоугольная.

Высота трапеции — это боковая сторона?

Только у прямоугольной трапеции, когда боковая сторона перпендикулярна основаниям. В общем случае высота — кратчайшее расстояние между параллельными прямыми.

Почему площадь через среднюю линию равна m · h?

Средняя линия равна (a + b) / 2. Это ровно первый множитель в формуле площади, поэтому S = mh без новых допущений.

Как калькулятор находит высоту по четырём сторонам?

Он отделяет от трапеции два прямоугольных треугольника с общей высотой. Их горизонтальные части в сумме дают разность оснований; дальше высота находится через соотношения сторон и формулу Герона.

Почему нельзя найти площадь параллелограмма по четырём сторонам?

У параллелограмма основания равны, поэтому разность оснований равна нулю и нужный вспомогательный треугольник не возникает. Одинаковые четыре стороны не фиксируют угол, а значит и высоту: это свойство фигуры, не недостаток калькулятора.